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本书是数学家马传渔老师针对有趣艺术现象的数学思考。

作者以自身多年的数学教学与研究经验，带领读者触碰那些经典艺术现象背后的数学原理——通过黄金数、裴波那契数，马赛克、彭罗斯瓷砖，黄金图形、雪花曲线，莫比乌斯带、三阶幻方、佩奇排序这些耳熟能详而又妙趣横生的内容，帮助读者了解艺术背后的数学原理。

本书深入浅出，语言流畅，讲述风趣轻快而不失学术严谨，是适合广大文科类读者尤其是青少年读者进入数学之门的一本小书。

章黄金数、斐波那契数/1

§1黄金数φ与Φ2

§2斐波那契数10

§3斐波那契数的再认识17

§4帕斯卡三角形与斐波那契数22

第二章镶嵌艺术/27

§1正多边形的周期性平面镶嵌28

§2正多边形组合图形的平面镶嵌30

§3彭罗斯瓷砖35

§4凹多边形的平面镶嵌37

§5立体图形的空间镶嵌38

§6镶嵌艺术的闪光点41

第三章对称图形·黄金图形/47

§1对称图形48

§2黄金图形57

第四章雪花曲线·邮票图案/73

§1雪花曲线74

§2邮票图案83

§3视觉化与错视89

第五章制作艺术/99

§1莫比乌斯带100

§2幻方108

第六章思维创新艺术/131

§1镶嵌、拼图的思维火花132

§2质数探究和海伦公式的思考137

§3几何设计148

§4谷歌“佩奇排序”中的数学元素156

参考文献/159

马传渔，南京大学教授。1982—1984年师从法国贝尔热（M. Berger）院士在巴黎第七大学学习。编著出版《黎曼流形的谱》《空间解析几何学》《微积分》《艺术数学》等著作，以及《初中数学进阶》《高中数学奥林匹克读本》等中小学数学奥林匹克科普读物共130余册。

曾任中国数学会普及工作委员会副主任，江苏省数学会普及工作委员会主任，首批国家数学奥林匹克高级教练。第31届国际数学奥林匹克选题委员会委员与协调委员会常委，第35届国际数学奥林匹克选题委员会委员。

1993年获全国普通高等学校优秀教学成果二等奖，同年被录入第十五版《世界名人录》（Who’s Who in the World），享受国务院政府特殊津贴。1996年荣获江苏省委宣传部、江苏省科学技术委员会和江苏省科学技术协会联合授予的“江苏省十佳科普工作者”称号。

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编辑推荐

对于数学，我们或许不敢去触及其深奥所在，但实际上，我们已经在生活中触碰着其基本的奥妙.在这个时代，迅疾的媒体融合与智能时代的悄悄推进，改变了人们的生活与看待世界的角度，促使我们正视媒介变化所折射的时代变化.如何看待视听文化成为一个必须认真对待的问题.

数学和人们生活的密切关系，其实不用过多地加以论证即可知晓.例如，中国人对于乘法口诀表在世界上独特的记忆方式，从勾股定理到数学在生活购买上的重要作用等，无需强调就可以证明数学是人们生活中须臾不可离去的对象.当年徐光启为《几何原本》作序的文字，*次让我们知晓那个时代的科学家已经高度肯定了数学几何的价值.徐光启所谈及的历史如此神奇：“唐、虞之世.自羲、和治历，暨司空、后稷、工、虞、典乐五官者，非度数不为功.”②③④中华书局上海编辑所：《中华活叶文选90年 徐光启传，甘薯疏序，刻〈几何原本〉序》，18~20页，北京，中华书局，1962年.注：其中的句号应行文要求改为句点.而在那篇序言中，其随后的推理更值得回味：“《周官》六艺，数与居一焉；而五艺者，不以度数从事，亦不得工也.”②这里显然强调的是，如果没有“数”，其他的五艺几同存废.而徐光启其实是为了证明欧几里得的数学著作的重要性：“《几何原本》者，度数之宗，所以穷方圆平直之情，尽规矩准绳之用也.”③注意其强调《几何原本》是关于数学的根本性书籍，自然是因为当初引进的需要，而在我们看来不仅是放在整个数学史的背景下指出《几何原本》的意义，还因为徐光启后面的极为重要的阐释，他提到一个常理，即生活中必然有似乎不起实际功利效用的东西存在：“盖不用为用，众用所基，……先生曰：‘是书也，以当百家之用，庶几有羲和、般墨其人乎，犹其小者；有大用于此，将以习人之灵才，令细而确也.’余以为小用、大用，实在其人.”④在中国人眼里，这已经是把数学的价值抬高到无以复加的地步了.放大来看，没有数学，真就无法裁断事理.

这样来看，本书触及的关于思维和观念认知就十分必要了.数学对人的思维、人的判断、对时空问题的计算作用很大，对人的思维的修炼作用更是极其重要的.在我们小时候推广“优选法”的时代，大数学家华罗庚先生为了让人们通俗易懂地理解数学的价值和作用，用了一个烧水、泡茶、洗茶具的计算先后把控的细致说明；还有当你遇到面向左前方目标走去时，学过优选法的人在找捷径的时候，通常都要打一个折角而不愿直行再左转，因为两点之间线段*短.这无形中就是数学在无形中对我们所起的作用.

本书既有数学家对于融合思维的讲解，也有实际践行的思维习惯的改变.就“台球艺术表现”而言，台球高手美妙精确的表现都来自其对时空关系的几何判断和对数学计算延伸的物理的力度旋转，每一次击打球杆的“艺术”表现，都是一种精于计算，并在头脑中构筑成的一种空间几何关系，此时的数学似乎不是公式的排列，而是思维在掌握数学知识基础上的判断和实际操作.所以日常生活和人的思维之间无论是在宏观上还是在微观上，都离不开数学.在艺术上，数学对人的关系非常重要.例如，画家作画时会拿手指掂量、揣度空间关系，其实就是在浓缩生活中对于尺度造就空间的认知，因为只有按照生活实际来和谐地落墨上形，才能更符合人们视觉感受的比例.又如，做乐器时的比例拿捏，吟唱的时间对于表现的舒适感等都与艺术融合性息息相关.这样谈及数学和艺术，可见两者之间的确有极其强烈的关系.这就是思维的重要性.如何在融媒体时代适应复杂性、适应跨媒体的现实，本书巧妙地将其加以入题，并且将数学思维在原理和实际训练上做了深入浅出的阐述和实际训练的展开，阅读之后会让人有恍然大悟之感和心领神会之悟.

本书融知识性、趣味性、可读性于一体，是一本跨学科的数学读物，也可作为各类学科思维实训的辅导材料，供广大读者学习.

前言

本书是一本通俗的融知识性、趣味性、可读性于一体的科普读物，旨在展示数的魅力和图形的奥秘.

本书以数学思维实训为鸿线，阐明黄金数、斐波那契数、质数、帕斯卡三角形和幻方中数的特性和应用，同时指出当今有关的一些发展动态.

本书近300幅优美图案源于镶嵌图形、对称图形、黄金图形、雪花曲线、分形图案、邮票图案、莫比乌斯带、魔幻线、伊斯兰的几何图案，使人们在观赏中能逐步感悟到图案中的数学元素、数学原理和数学应用，使人们会情不自禁地亲自动手去描绘图形、制作图形.图形艺术在传媒、建筑、装饰、设计、美术及大自然中能产生无所不及的广泛的应用.

章引入黄金数因为它是艺术家和建筑学家所遵循和追求的表现美的原则之一.13世纪意大利数学家斐波那契发明了斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…,Fn，Fn 1，….该数列中每一项称为斐波那契数.黄金数和斐波那契数频见于美术作品、建筑艺术、股市艺术、传媒广告以及各类游戏之中.

任意4个连续的斐波那契数可构成一组勾股数，此结论于1948年被查理斯·文·瑞恩所证实.1987年米歇尔·凯斯(Michel Keith)引入n位重现斐波那契数，从中产生的思维过程是值得一读的.§4中的帕斯卡三角形表含有丰富的内容，它与斐波那契数、等差数列和二项式定理具有一定的联系.

黄金数与斐波那契数的联系主要体现在两个方面：一是当项数n足够大时，斐波那契数列前后两项的比值越来越接近于黄金数，利用数列极限不难证得这一结论；二是斐波那契数列的一般项可用黄金数表示出，参见定理5.

第二章介绍什么叫平面镶嵌？平面镶嵌就是用同样形状的平板砖(瓷砖)无缝隙而又不重复地铺满整个平面.换言之，用若干个图形无重复、无空隙地铺满平面区域，叫作镶嵌.因为平面砖的形状呈多边形，所以镶嵌艺术就是研究如何用各种多边形无重叠、无空隙地铺满整个平面.

几何图形的知识是镶嵌艺术的基础.在平面镶嵌中，若采用几何图形进行周期性镶嵌，则只有正三角形(等边三角形)、正方形和正六边形能周期性镶嵌平面.利用正多边形各种组合和不规则镶嵌，也能给予人们美的享受.利用多阶米诺和多阶六角的凹多边形的铺设，可装饰出千姿百态的图案.随着1973年罗杰·彭罗斯(Roger Penrose)发明了彭罗斯瓷砖，用彭罗斯瓷砖镶嵌，开阔了人们的眼界.

镶嵌艺术不仅赋予了人们各种美丽的图案，而且赋予了人们丰富的想象力和创新力，引导人们将镶嵌艺术用于建筑、传媒、美术作品，园林风景区壁挂、漏窗的装饰等中.

艺术家埃舍尔(MCEscher,1898—1972)发明的变形镶嵌图案令人惊叹不已.到了1936年，渥德堡发明了渥德堡铺砖法，1973年英国物理学家潘洛斯发明了潘洛斯铺砖法，将铺砖艺术提升到一个新的层次(见第六章§1).

随着计算机科学的出现与发展，计算机镶嵌艺术作品也不断出现，一种新理念的镶嵌设计必将在不久的将来被开发出来.

当“数学”遇上“艺术”——数学家带你提升融合思维能力前言第三章介绍对称图形和黄金图形.苏联数学家亚格龙将几何学定义为：几何学是研究几何图形在运动中不变的那些性质的学科，几何变换是指把一个图形F1变换成另一个图形F2的方法.常见的几何变换有轴对称、平移和旋转.这三种变换赋予人们对称的美.对称的概念出现在大自然、艺术、科学、传媒、建筑、折纸乃至诗歌之中.在我们的生活中，几乎所有方面都能找到对称.当我们看到一个图案或雕塑时，无须仔细观察就能判定喜欢它或不喜欢它，其中它的对称是影响我们直觉的主要因素.本章中埃舍尔的几幅工艺作品足以体现丰富的数学对称知识给予了艺术家创作的灵感，给美术作品留下了广阔的创作天地.

黄金图形常见的有黄金三角形、黄金矩形、黄金五边形和根号矩形.黄金三角形指的是顶角为36°或顶角为108°这两种类型的等腰三角形.大自然中存在两种生物，恰好是两种类型的黄金三角形，这两种生物繁殖数量之比恰好趋近于黄金数.黄金矩形指的是一个长与宽之比为黄金数的矩形.给出一个黄金矩形可以构作无穷多个黄金矩形，此过程称为黄金分割动态矩形.黄金矩形和黄金分割动态矩形在美术作品中是常见的.参见G·西雷特作品《入浴》和达·芬奇未完成的作品《圣徒杰罗姆》.达·芬奇不仅是一位大画家，而且是一位数学家，他说过：“……没有什么能不通过人类的探索而称之为科学的，除非它是通过数学的解释和证明的途径.”黄金五边形指的是正五边形.由正五边形可诱导一个五角星形，两者融合在一起，常出现在传媒广告海报之中.

第四章介绍雪花曲线和邮票图案.1904年，海尔格·冯·科赫(Helge von Koch，1870—1924)在研究具有无限周长且具有有限面积的曲线时，引入了雪花曲线，又称科赫曲线.

雪花曲线属于数学“分形”中的内容.分形的思想初见于1875—1925年数学家们的著作.1970年美国IBM公司托马斯·沃森研究中心的伯诺瓦·曼德尔布罗特(Benoit Mandelbrot,1924—2010)教授发表了一篇题为《英国的海岸线有多长》的文章，开启了分形的先河.人们可以想象：如果海岸线是有“规则”的，那就容易计算光滑曲线的弧长.然而，大海湾所显露出的越来越小的子海湾参差不齐，弯弯曲曲，所得的海岸线的长度会逐步地、无限地上升，计算海岸线的长度遇到了麻烦.直到1975年，曼德尔布罗特提出“分形”这个数学名词，并于1977年出版了部著作《分形对象：形、机遇和维数》，宣告了新几何学——“分形学”的诞生.1982年，曼德尔布罗特修订此书，并以《大自然的分形几何》新名问世.

数学上的分形是一种形式，它从一个对象(点、线段、三角形、正方形等)开始，重复应用一个规则，连续不断地发展着、变化着，直至无穷.当人们观察一张分形图片时，看到的仅是它在某一个瞬时的样子，是冻结在它成长过程中的一个特定阶段.依此思想，若将分形与自然界联系在一起，就能体现出和谐美和自然美.分形不仅可描绘诸如地震、树枝、生姜根、海岸线等自然现象，而且在天文、美术、经济、气象、电影制片、广告艺术等方面也有广泛的应用.

分形曲线的维数不是正整数，而是约为1261 9,即为ln 4与ln 3之商.

借助于应用学科和计算机制图技术的推动，分形的数学理论得到了迅速的发展，并且为应用学科提供了有力的工具.作为图形艺术，“分形”让人们欣赏到通过自相似可以无限延伸，得到许多美丽的图案.

长期以来，在雪花研究领域，人们一直认为世界上没有完全相同的从天空中飘下的两片雪花.然而，在1986年11月1日，美国一个探测中心的NC克奈特发现了对完全相同的雪花.

1915年波兰数学家谢尔宾斯基(Wactaw Sierpiński,1882—1969)构造出一种“垫片”，它就是谢尔宾斯基三角形；意大利数学家皮亚诺(Giuseppe Peano,1858—1932)构造了皮亚诺曲线.

将谢尔宾斯基地毯延拓到空间就是门格海绵，门格海绵是奥地利数学家卡尔·门格(Karl Menger)于1926年提出的，他借助于计算机给出了具有无数凹洞的门格海绵的图案.

邮票图案的内容大致可分为以下四类：一是名人的图案；二是具有纪念意义的图案，如名人聚会、体育比赛、生肖图案等；三是风景图案；四是含有几何元素的趣题.

1998年德国发行了一枚邮票，用来纪念1998年在德国柏林举行的国际数学家大会.画面简洁，画面的主体是用许多不同的正方形拼成的一个长方形，而这个长方形看起来好像是一个正方形，为此，称它为准正方形，采用列方程法可得其解.深化这个问题，如果能使用大小不同，边长均为整数的各种正方形拼出一个正方形，则称这个问题为“可完美分解的正方形”，又称此正方形为可完美分解的正方形.1925年波兰数学家莫伦发现可用九个边长分别为1，4，7，8，9，10，14，15和18的正方形拼成一个边长为33×32的矩形.人们还在继续寻找这样的准正方形.

多年以来，许多数学家认为根本不存在有所谓的“可完美分解的正方形”.直到1940年，布鲁克斯等四位年轻人次发现了可以用49个正方形拼贴成一个可完美分解的正方形.布鲁克斯继续研究将49个正方形减少成至少39个正方形.1962年杜威斯特贞断言：可完美分解的正方形必须涵盖至少21个大小不同的正方形，并在1978年找到了一种拼贴方法.同时指出这是一个小的可完美分解的正方形.

第五章制作艺术阐明了动手制作的重要性.任何事情只有通过亲自动手才能擦出思维的火花.瑞士艺术家卡斯珀·施瓦贝(Caspar Schwabe)制作了一幅艺术品，放在展览会上，他允许参观者用彩色图案在墙上学习制作彭罗斯瓷砖铺设的规律.这种训练实线操作的方法，对培养亲自动手的能力是十分重要的.第六章§3中的对伊斯兰文明的图案设计、伊斯兰基本图案与网格以及第二章的动态矩形和作法要亲自动手画一画，同时用脑进行深层思考.对伊斯兰文化的几何图案和花朵图案应结合对称思想，利用镶嵌技巧在正方形的网络上进行认真的制作.记住花朵图案构成的方法，注意凝练创新思维的培养.利用各自的智慧，制作出更为美妙的图案.

莫比乌斯带是如何制作的？它具有什么样的几何特性.根据书本上介绍的方法制作“三叶形结”.莫比乌斯带的应用是十分广泛的，除应用于美术作品外，还应用于邮票图案、杂志封面、机械设计、录像带的设计等各个方面.史蒂芬·霍金(Stephen Hawking)于2001年7月出版了《果壳中的宇宙》一书，形象地表现出5个火车头行驶在雕刻家埃舍尔的“三叶形结”的带子上，用艺术图案将时空弯曲这一深奥复杂的物理理论演绎得形象生动、浅显易懂.

幻方是一种古老的、流行的数学游戏，不涉及高深的数学知识，且趣味性强.因此，人们对幻方的兴趣至今未衰.以三阶、四阶幻方为例，叙述幻方的性质及幻方中数字的特性，逐步寻找构制各种幻方的方法.奇数阶幻方可采用罗泊法.4n型偶数阶幻方便于构作，而4n 2型幻方，即6阶，10阶，14阶，……，这类幻方的构作是有一定难度的.古典的著名幻方，如杨辉6阶幻方和富兰克林8阶幻方等，要掌握这些幻方有趣的特性.制作幻方既能自娱自乐，又能发现数的特性以及数的魅力，还能激发学习的兴趣和启迪思维.利用魔幻线可构作各种美丽的图案，读者不妨自己动手去试验、去发现.