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《小学数学58节关键课》通过对人教版小学数学12册的教材进行纵向梳理，整合成 58 节关键课。作者深入挖掘教材，整体架构知识间的内在联系，系统梳理知识体系中的关键节点、学习难点，帮助学生的数学学习从零散走向整体、从浅层走向深度、从知识走向素养，实现学习的整体化、体系化和结构化，是一本适合广大一线数学教师教学实践的著作。

1　加法初步认识

——在理解“和”中，感悟“整体”与“部分”的关系 | 001

2　减法初步认识

——从“加法”走进“减法”，感悟关联 | 006

3　10的认识

——“打包”中的学问 | 012

4　11~20各数的认识

——让“数”说话 | 016

5　进位加法

——在进位加法中，感受“10”的力量 | 020

6　退位减法

——在“退”中悟理，感悟单位细化 | 026

7　整体与部分

——在变化中感受相对性 | 031

8　大数和小数

——“退”到原点，理解数量关系 | 036

9　100以内数的认识

——在“数”中理解数的意义，建立数的结构 | 042

10　100以内进位加法

——把握核心概念，沟通知识联系 | 046

11　100以内退位减法

——借助小棒，使算理更加形象化 | 051

12　份的初步认识

——凸显核心概念，感悟知识结构 | 056

13　平均分•除法

——不同的分法，相同的道理 | 062

14　有余数的除法

——分出经验，感悟关系，思出道理 | 066

15　认识算盘

——走进算盘，增强民族自豪感 | 071

16　两步问题结构（一）

——注重数量关系，建立问题结构 | 075

17　两步问题结构（二）

——加强数量关系分析，培养思维能力 | 081

18　口算乘法

——以单位为核心，理解算理 | 086

19　笔算乘法

——重算理，促迁移，感悟单位 | 091

20　分数的初步认识

——平均分中的学问 | 097

21　倍的认识

——以“份”为核心理解数量关系 | 101

22　倍•分数

——以“份”为核心，沟通“倍”与“分” | 107

23　归总问题

——掌握数量关系，数形结合渗透函数思想 | 111

24　归一问题

——注重数量关系，渗透函数思想 | 116

25　解决问题•连乘、连除

——比较中沟通联系，重在数量关系的分析 | 121

26　除数是一位数的除法

——用余下的“1”，体会单位的细化 | 127

27　两位数乘两位数

——借助几何直观，促进未知向已知的转化 | 133

28　多位数的认识

——理解核心概念，培养数感 | 137

29　除数是两位数的除法

——在调商中积累试商经验 | 142

30　灵活试商

——在除法竖式中培养数感，发展推理能力 | 146

31　解决问题（画图）

——渗透画图意识，体会画图优势 | 152

32　认识三角形

——观察中认识，操作中理解 | 157

33　三角形的三边关系

——操作验证，进行推理，准确归纳 | 163

34　三角形的内角和

——重视动手操作，尝试推理证明 | 168

35　三角形的面积

——从“未知”到“已知”，“转化”中悟道理 | 173

36　变化中的规律

——构建联系，研究关系，发现规律 | 178

37　小数的认识

——以单位为核心，把握小数本质 | 184

38　小数加减法

——找到生长点，沟通知识间的联系 | 189

39　小数乘法

——沟通联系，凸显单位，感悟算理 | 194

40　小数乘小数

——在“单位”统领中，感悟算理 | 198

41　小数除法

——小数点，大道理 | 203

42　2、3、5倍数的特征

——透过现象看本质，探究规律背后的道理 | 208

43　分数单位

——感悟“分数单位”在分数学习中的价值 | 215

44　分数加减法

——在通分中，感受“单位”统一的力量 | 223

45　分数乘整数

——在迁移中培养运算能力，感悟运算的一致性 | 228

46　一个数乘分数

——感悟“单位”，沟通联系，体会运算的一致性 | 234

47　分数乘分数

——感悟“单位”，沟通联系，体会运算的一致性 | 241

48　分数除法

——感悟“单位”，沟通联系，体会运算的一致性 | 247

49　比

——理解比的本质，渗透函数思想 | 254

50　圆的面积

——化曲为直，初步感受“极限”思想 | 259

51　表面积

——沟通图形联系，发展空间观念 | 266

52　圆柱和圆锥的体积

——把握图形联系，发展推理能力 | 273

53　行程问题

——在行走中明理，在对比中前行 | 278

54　工程问题

——在问题解决中，感悟模型思想 | 284

55　正反比例的意义1

——在对比中明确概念，初步感受函数思想 | 289

56　正反比例的意义2

——借助几何直观，初步感悟函数思想 | 294

57　数与形

——重在关联，感悟本质 | 300

58　平面图形面积的复习与整理

——抓住图形之间的联系，建构知识结构 | 305

陈丽华 正高级教师、特级教师、特级校长，北京市朝阳区实验小学校长。曾获北京市先进工作者、首都劳动奖章、北京市“三八”红旗奖章、北京市优秀共产党员等荣誉称号。先后兼任北京教育学会学习与思维研究会副理事长、朝阳区政协委员、北京青联委员等。主持“马芯兰教学法在新课程改革中的继承与发展的研究”等多项国家、市级教育科学规划办课题，获得基础教育国家级教学成果一、二等奖。出版《小学数学思维训练与能力培养》等6本专著，在核心期刊发表10余篇论文。

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10的认识——“打包”中的学问

 教材解读

《10的认识》是人教版教材一年级上册第五单元“6~10的认识和加减法”中的教学内容，是在学生学习了“1~5的认识”的基础上进行教学的。

教材创设了“老师带着同学们一起喂鸽子”的生活情境，通过数鸽子或者数小朋友和老师的数量来认识10，知道凡是数量是10的物体都可以用10来表示，并学习10的基数和序数的意义，能够比较10以内数的大小，学会10的组成等相关知识。但与此同时，我们认为“10的认识”以及“10的意义”的理解对于学生后续的数的认识的学习起着至关重要的作用。“10的认识”是产生位值概念的起始，也是学生对于十进制，对于数位、计数单位和进率的第一次感知，在此之前，学生学习的都是一位数，直到学习了“10”，学生才能初步体会数位的意义。所以，我们认为“10”是一个非常重要的学习内容。

在这节课的教学中，教师不能仅仅停留在能数10以内物体的数量，更重要的是，引导学生理解10的意义，建立以10为单位的表象，并能通过结合生活中的实际活动，充分体会够10个一，就可以把它换成1个十，以此初步感受十进制，为后面学习11~20各数的认识奠定基础。

基于以上思考，在教学本节课的过程中，我们通过各种生活中的实际情境，不仅带领学生学会数数量是10的物体，更是把教学重点放在了借助具体情境建立以“十”为单位的概念，为后续11~20各数的认识、大数的认识做好铺垫。

为此，我们把《10的认识》纳入到本书中，力求在这节重要的数认识的关键课上建立起数位、计数单位、进率之间的关系，通过这样的渗透，培养学生迁移的能力，以“数位”“计数单位”为主线，抓知识间的内在联系，对“数的认识”教学不断地进行知识与思维的渗透。这样在学习新知识时，学生因前面早有渗透，已具备了迁移的能力，因此后续学习便能很快掌握，从而减少课时。与此同时，以基本概念为核心的教学，大大提高了教学效率。

 教学设计

一、教学目标

1.通过生活中的实际情境，引导学生经历认识10的过程，发展学生的数感。

2.学会10的数数、认读，对10的数概念获得全面的认识。

3.引导学生感受10与实际生活的密切联系。

二、教学重点和难点

理解以“十”为单位的计数方法。

三、学具

小棒。

四、教学过程

（一）生活中的10

1.从生活中学生熟悉的场景导入，出示一些带有10的生活场景，从而引

出“10”。

2.出示10个小朋友排成一队的图片。

提出核心问题：红圈（大圈）和蓝圈（小圈）表示的意思一样吗？

【设计意图】通过生活中的“10”导入本节课的教学，这样设计，学生可以体会到10在生活中到处都有，建立数与生活实际的联系。在第二个情境中，出示了10个小朋友的图片，并将10个小朋友圈起来，与第10个小朋友进行对比，通过这样的活动，学生建立体会以10为一组的表象。这两个题为学生理解10的意义打下基础。

（二）深入理解10的含义

出示：

提出核心问题：

1.图中几个鸡蛋装一盒？

2.什么时候才能盖盖儿？

3.如果我们把这1盒鸡蛋看成一个大“1”，再打开看，里面有几个小“1”呢？

4. 1盒鸡蛋，1个鸡蛋，都是“1”，这两个“1”表示的意思一样吗？

【设计意图】对于10的认识，我们认为怎么讲都不为过。我们知道，10的认识，是学生真正理解数意义的最关键的知识起点。从10的认识开始，学生便进入到两位数的学习，数位的意义也由此而生，学生对于计数单位和进率有了初步的感知。数的认识学习中，进率的理解对于一年级学生而言比较难，但是，我们在这样“够10个鸡蛋装一盒”的实际活动中，带领学生体会十进制，学生通过装鸡蛋的活动，理解够10个才能打包，装成一盒，从而让“10”的理解在学生的心中扎根，为后续数的认识奠定了基础。

学生在理解了以10为单位的认数活动基础上，再次借助一盒鸡蛋和一个鸡蛋，引发学生思考：都是“1”，这两个“1”表示的意思一样吗？学生体会到，虽然都是“1”，但是它们的含义却不同，一个表示1个一，另一个表示1个十。并通过大“1”、小“1”，形象地理解“1”的含义，初步建立位值思想。

（三）多情境认识10

观察生活中10个一组的物品，再次认识10。

【设计意图】通过学生观察生活中各种以“10”为一组的物品的现象：10支铅笔一板儿，10块橡皮装一盒，10卷卫生纸一袋儿，10盒牛奶装一箱等，再次体会10的重要意义，感受以10为单位的计数方法。

（四）巩固10的含义

创设数小棒的活动：

1.够10根小棒就把它们捆成一捆。

2.形成一个新的约定。

3. 10个一就是1个十，10个十是多少呢？

小结：10这个数非常重要，在未来的学习过程中，它会起到更重要的作用。

【设计意图】基于借助丰富的生活实际情境，在理解10的意义的基础上，再次借助小棒这个直观模型帮助学生理解10个一和1个十之间的关系。和学生达成一个共同的约定：凡是够10根小棒，就把它们捆成一捆，带领学生经历借助小棒进行打捆的过程，初步体会捆和根的区别和联系。通过这样的活动，再次把10和1建立起了联系，学生不仅理解了数的意义，还初步了解了数的结构模式和关系。

 教学效果评价

学生通过本节课的学习，对“10”的理解并没有停留在认数和数数的简单层面上，而是真正理解了“10”的意义，对于数概念的建立起到至关重要的作用，为后续数的意义的学习奠定了坚实的基础。

在课后，可以用下面这道题检测学生对本节课的掌握情况。

用你喜欢的方式数一数下面的小棒，看看有多少根？

【设计意图】通过这样一道开放性题目的检测，能够将学生对“10”的认识的理解程度呈现出来，看看学生是否对10有了整体的感知，是否能借助生活中“打包”的经验，初步建立以“10”为单位的表象，初步理解十进制。

（倪芳）

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编辑推荐

小学数学12册教材的内容浓缩为58节课

一本书读懂小学数学、读懂小学数学教学

☆读懂小学数学：按照课标要求，整体架构数学知识间的内在联系，形成数学58节关键课，实现整体化、体系化和结构化。

☆读懂小学数学教学：呈现58个实践性强的教学课例，引导教师形成知识结构。

☆培养数学思维：58节课充分考虑了不同层次学生的需求，使学生的数学学习从零散走向整体、从浅层走向深度、从知识走向素养。

纵向梳理小学数学12册教材，整合成58节关键课。

深入挖掘教材，整体架构知识间的内在联系，

系统梳理知识体系中的关键节点、学习难点，

实现数学学习的整体化、体系化和结构化，

学生的学习从零散走向整体、从浅层走向深度、从知识走向素养。

编辑推荐篇章：

1  加法初步认识

——在理解“和”中，感悟“整体”与“部分”的关系

9  100 以内数的认识 

——在“数”中理解数的意义，建立数的结构 

47　分数乘分数 

——感悟“单位”，沟通联系，体会运算的一致性

前言

58节关键课：小学数学结构化教学改革的实践探索

自20世纪70年代以来，朝阳区实验小学老校长马芯兰创造了以“开发学生智力、减轻学生负担，提高教学质量”为主要目标的“马芯兰教学法”，为推动小学数学教学改革提供了良好的经验。随着课程改革的不断推进，我结合当前数学教学中的困难与挑战，带领学校全体数学教师在传承创新“马芯兰教学法”的基础上，深入挖掘教材，整体架构知识间的内在联系，系统梳理知识体系中的关键节点、学生学习的难点，通过对人教版小学数学12册教材进行纵向梳理，整合成58节关键课，帮助学生的数学学习从零散走向整体、从浅层走向深度、从知识走向素养，实现学习的整体化、体系化和结构化。

58节关键课的研究过程，历经了以下几个阶段。

第一阶段：构建了数学课程新体系。

学校围绕数学课程目标，将小学1—6年级数学知识点进行系统梳理，并将这些知识点按照“数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践”四个领域构建“学科知识脑图”。结合教材、年级、主题，将知识点进行整合，梳理出数量关系、运算、图形等58个研究主题，也称为“58节关

键课”。

基于58节关键课的内容架构和课堂实施，学校构建了数学基础性课程、数学拓展性课程、数学个性化课程的数学课程新体系。数学课程的整体建构，确保了不同层次学生的需求，提高了学生学习数学的兴趣，减轻了学生学习的负担，培养了学生数学思维，更为学生未来学习奠定了坚实的

基础。

第二阶段：创新了课堂教学新模式。

学校组建58节关键课研究团队，我带领团队中的教师进行系统的备课、磨课，并通过听课进行课堂评价，形成二次备课，再结合课堂教学继续进行深入研究。学科组围绕58节关键课不断进行研究、实践、总结、交流、调整和完善，通过课堂教学实施，不断发现问题，反思后调整并解决

问题。

58节关键课从根本上抓住了知识的前后联系，抓住了核心概念，引导教师形成知识结构。在我校的教师培训及日常教研活动中，通过对58节关键课的研磨，为数学教师专业化发展奠定了良好的基础，形成了以“自主学习—协作研究—观课议课—课堂实践—反思调整—专业提升”为主线的课堂教学实践新模式。

第三阶段：形成了教师培训新样态。

学校通过多种途径，对教师进行系统培训，形成58节关键课的可复制模式，打造了“学研训教一体化”模式，形成了教师培训新样态。“学习带动”：引导教师利用58节关键课的物化成果进行自主学习，制订个人发展规划，激发专业提升内驱力。“科研推动”：引导教师参与58节关键课的校级、区级、市级、国家级课题研究，提升专业素养。“培训驱动”：学校组建学科专家团队和管理团队，邀请名家教授来校讲学，邀请市区教研员观摩指导，赋能教师专业成长。“教学促动”：引导教师将理论与实践相结合，在不断反思中更新教学观念，增长教学智慧，形成教学特色。

第四阶段：促进了教育均衡新发展。

通过58节关键课的研究，充分激发了学生的学习兴趣，提升了学生数学核心素养，有效培养了学生的高阶思维，提升了学生的创造能力。近几年来，学生自主发明的测温口罩、3D打印鲁班锁、柔性夹具、环保捕鼠筒、自动浇花器和自动浇花架、密封装置、冷暖箱等获得国家发明专利。

58节关键课研究成果多次得到上级领导部门的支持与肯定，多次在市区及全国教育活动中作为典型经验进行介绍和推广，具有广泛的学术影响力。

学校在集团化办学过程中，以58节关键课为抓手，带动集团内薄弱校提升，促进学生高效学习，真正减轻学生负担，同时学校发挥集团的辐射引领作用，将研究成果辐射到密云、雄安、贵阳校区，促进了当地学校教学质量的快速提升，提升了办学水平，成为当地的名校和优质校。

在脱贫攻坚、乡村振兴等国家战略中，学校充分发挥首都优质教育资源的辐射带动作用，将58节关键课研究成果输送到外省市，如湖南省凤凰县、云南省昆明市、四川大凉山地区、海南省三沙市等学校，促进了学校优质均衡发展，累计受益学生超过五万名。

关于小学数学结构化教学的研究，我们将继续不断深入思考、探索和实践，为学生终身发展助力！

陈立华