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本书是东华大学理学院物理系为理工科各专业开设的大学基础物理实验课程的教材。主要内容为测量误差与不确定度评定的基本知识，几十个涵盖力学、热学、电磁学、光学、近代物理的基本实验及以近代物理和技术性物理为主的选做实验。其中许多实验还含有“实验拓展”或“提高要求”部分。附录中有基本物理常量表和国际单位制的介绍。

本书可作为物理或非物理类专业的大学基础物理实验课程的教材和参考书

绪论1

一、

物理实验课的地位和作用1

二、

物理实验课的基本程序1

三、

适用于所有实验的注意事项3第1章测量误差与不确定度评定及实验数据处理4

1.1测量及误差4

1.1.1测量的基本概念4

1.1.2测量误差的基本概念5

1.1.3随机变量统计规律的表述10

1.1.4正态分布随机误差的统计规律及其表述14

1.2实验不确定度的评定17

1.2.1不确定度的由来17

1.2.2不确定度的概念及表征参数17

1.2.3不确定度的估计18

1.2.4标准不确定度的合成与传递22

1.3有效数字及测量结果的表示29

1.3.1有效数字的概念29

1.3.2数值的修约规则29

1.3.3实验数据的有效位数确定29

1.4列表、作图之要点及组合测量与直线参数31

1.4.1列表法32

1.4.2作图法和图解法32

1.4.3小二乘法和线性拟合33

思考题36

误差与有效数字练习题36

附录1t因子37

附录2常用函数的标准偏差或不确定度传递公式38

附录3仪器准确度、仪器误差、分度值和鉴别力阈39

参考文献47〖1〗大学物理实验（第2版）目录〖2〗第2章基本实验49

实验1长度测量49

实验2物体密度的测量54

附录1标准大气压下不同温度的水的密度(g·cm-3)58

附录2计算公式及误差分析59

附录3密度计原理60

实验3用三线摆测转动惯量60

附录电子秒表的使用66

实验4用拉伸法测量金属丝的弹性模量67

附录1几种材料的弹性模量72

附录2逐差法72

实验拓展：

用CCD成像系统测定杨氏模量73

实验5电路连接练习及万用表的使用75

实验拓展：

伏安法测电阻的研究83

实验6电桥及其应用86

实验拓展：

电阻温度计与不平衡电桥91

实验7示波器的使用94

实验拓展：

组装整流器105

实验8分光计的调节和使用106

附录三棱镜折射率及顶角与小偏向角的关系113

实验9汞光谱波长的测量114

附录FGY01型分光仪角度读数方法118

实验10氢原子光谱的测量及里德伯常量的实验证明119

附录1氢光谱线系能级图123

附录2常用光源的谱线波长表124

实验11灵敏电流计特性的研究124

实验拓展: 电磁动量之研究130

实验12用电位差计校正电压表132

实验13碰撞打靶实验137

实验14灯丝电阻与其端电压关系的研究140

实验拓展：

研究光电二极管的光电特性141

实验15薄透镜焦距的测量143

实验16利用驻波测定弦线中的波速150

实验拓展：

验证波长与弦线张力、波源振动频率的关系154

实验17铁磁材料动态磁滞回线和基本磁化曲线的测量156

实验18光的干涉和应用164

实验19显微镜与望远镜放大率的测量169

附录消视差176

实验20半导体的霍耳系数与电导率176

实验21金属电子逸出功的测定182

附录WF型系列金属电子逸出功测定仪介绍188

实验拓展：

验证二分之三次方定律及求电子的荷质比189

实验22电表改装190

实验拓展：

测量电流表的内阻194

附录设计方案参考195

实验23液体表面张力系数的测定196

实验24纺织品介电常数的测定204

附录有关本实验的一些说明210

实验拓展边缘效应修正211

实验25转动惯量的动力学测量法212

附录HMS2型通用电脑式毫秒计使用说明217

实验26动力学法测定弹性模量218

附录1弹性模量E=1.6067l3md4f2的推导220

附录2讨论222

附录3YM—2型信号发生器和CY—2型功率函数信号发生器223

实验27声速的测定224

实验28密立根油滴实验——电子电荷的测定229

实验29迈克耳孙干涉仪235

实验拓展: 测定钠D线两波长的波长差239

实验30激光全息照相240第3章选做实验245

实验31扭摆法测量材料的切变模量245

实验拓展：

根据所测琴钢丝的切变模量测定物体的转动惯量250

实验32玻尔共振实验250

附录1ZKYBG型玻尔共振仪调整方法259

附录2简单故障排除259

实验33液体黏滞系数的测量260

实验34气体比热容比的测量263

附录仪器操作265

实验35空气热机实验265

附录1仪器介绍269

附录2空气热机实验仪的维护272

实验36冷却法测量金属的比热容272

附录铜康铜热电偶分度表275

实验37稳态法测量不良导体的导热系数276

实验38金属线膨胀系数的测量279

实验39半导体热电特性实验281

实验40利用虚拟仪器技术测量发光二极管的伏安特性283

附录电流表的内接和外接285

实验41数字电表原理及应用技术实验286

实验42音频信号光纤传输技术实验292

实验43CCD器件的特性研究及应用299

实验44偏振光的研究和检测306

实验45声光衍射与液体中声速的测定311

实验46光学信号的空间频谱与空间滤波315

实验47用电功量热法测定水的比热容320

实验48LCR电路的谐振现象323

实验49毛细管法测量液体黏滞系数和表面张力系数328

附录水在不同温度下的黏滞系数和表面张力系数333

实验50弗兰克赫兹实验334

实验51核磁共振337总附录A理工科类大学物理实验课程教学基本要求350总附录B附表353

附表B.1常用基本物理常量表（CODATA2006年推荐值)353

附表B.2国际单位制的基本单位354

附表B.3国际单位制的两个辅助单位355

附表B.4国际单位制中21个具有专门名称的导出单位355

附表B.5中华人民共和国法定计量单位355绪论1

一、

物理实验课的地位和作用1

二、

物理实验课的基本程序1

三、

适用于所有实验的注意事项3第1章测量误差与不确定度评定及实验数据处理4

1.1测量及误差4

1.1.1测量的基本概念4

1.1.2测量误差的基本概念5

1.1.3随机变量统计规律的表述10

1.1.4正态分布随机误差的统计规律及其表述14

1.2实验不确定度的评定16

1.2.1不确定度的由来16

1.2.2不确定度的概念及表征参数17

1.2.3不确定度的估计18

1.2.4标准不确定度的合成与传递22

1.3有效数字及测量结果的表示28

1.3.1有效数字的概念28

1.3.2数值的修约规则29

1.3.3实验数据的有效位数确定29

1.4列表、作图之要点及组合测量与直线参数31

1.4.1列表法32

1.4.2作图法和图解法32

1.4.3小二乘法和线性拟合33

思考题36

误差与有效数字练习题36

附录1t因子37

附录2常用函数的标准偏差或不确定度传递公式37

附录3仪器准确度、仪器误差、分度值和鉴别力阈39

参考文献47第2章基本实验48

实验1长度测量48

实验2物体密度的测量53

附录1标准大气压下不同温度的水的密度(kg·m-3)57

附录2计算公式及误差分析58

实验3用三线摆测转动惯量59

附录电子秒表的使用64

实验4用拉伸法测量金属丝的杨氏弹性模量65

附录1几种材料的杨氏弹性模量70

附录2逐差法70

实验拓展：

用CCD成像系统测定杨氏模量71

实验5电路连接练习及万用表的使用73

实验拓展：

伏安法测电阻的研究81

实验6电桥及其应用84

附录误差分析89

实验拓展：

电阻温度计与不平衡电桥90

实验7示波器的使用92

实验拓展：

组装整流器104

实验8分光计的调节和使用105

附录三棱镜折射率及顶角与小偏向角的关系111

实验9汞光谱波长的测量112

附录FGY01分光仪角度读数方法117

实验10氢原子光谱的测量及里德伯恒量的实验证明117

附录1氢光谱线系能级图122

附录2常用光源的谱线波长表122

实验11灵敏电流计特性的研究123

实验12用电位差计校正电压表128

实验13碰撞打靶实验133

实验14灯丝电阻与其端电压关系的研究135

实验拓展：

研究光电二极管的光电特性136

实验15薄透镜焦距的测量138

实验16利用驻波测定弦线中的波速145

实验拓展：

验证波长与弦线张力、波源振动频率的关系149

实验17铁磁材料动态磁滞回线和基本磁化曲线的测量151

实验18光的干涉和应用159

实验19显微镜与望远镜放大率的测量164

附录消视差171

实验20半导体的霍耳系数与电导率171

实验21金属电子逸出功的测定177

附录WF型系列金属电子逸出功测定仪介绍182

实验拓展：

验证二分之三次方定律及求电子的荷质比183

实验22电表改装184

实验拓展：

测量电流表的内阻188

附录设计方案参考189

实验23液体表面张力系数的测定190

实验24纺织品介电常数的测定198

附录有关本实验的一些说明204

实验25转动惯量的动力学测量法205

附录HMS2型通用电脑式毫秒计使用说明210

实验26动力学法测定弹性模量211

附录1式E=1.6067l3md4f2的推导213

附录2讨论215

附录3YM—2型信号发生器和CY—2型功率函数信号发生器216

实验27声速的测定217

实验28密立根油滴实验——电子电荷的测定222

实验29迈克尔逊干涉仪228

实验拓展: 测定钠D线两波长的波长差232

实验30激光全息照相233第3章选做实验238

实验31扭摆法测量材料的切变模量238

实验拓展：

根据所测琴钢丝的切变模量测定物体的转动惯量243

实验32玻尔共振实验243

附录1ZKYBG型玻尔共振仪调整方法252

附录2简单故障排除252

实验33液体粘滞系数的测量253

实验34气体比热容比测量256

附录仪器操作258

实验35空气热机实验258

附录1仪器介绍262

附录2空气热机实验仪的维护265

实验36冷却法测量金属的比热容265

附录铜康铜热电偶分度表268

实验37稳态法测量不良导体的导热系数269

实验38金属线膨胀系数的测量272

实验39半导体热电特性实验274

实验40利用虚拟仪器技术测量发光二极管的伏安特性276

附录电流表的内接和外接278

实验41数字电表原理及应用技术实验278

实验42音频信号光纤传输技术实验285

实验43CCD器件的特性研究及应用292

实验44偏振光的研究和检测299

实验45声光衍射与液体中声速的测定303

实验46光学信号的空间频谱与空间滤波307

实验47夫兰克赫兹实验312

实验48核磁共振315总附录A理工科类大学物理实验课程教学基本要求327总附录B附表330

附表B.1常用基本物理常数表（CODATA2006年推荐值）330

附表B.2国际单位制的基本单位331

附表B.3国际单位制的两个辅助单位332

附表B.4国际单位制中21个具有专门名称的导出单位332

附表B.5中华人民共和国法定计量单位332

浦天舒，东华大学副教授，长期从事物理实验教学工作，发表相关论文数十篇，曾主编清华大学出版社出版的《大学物理实验》教材。

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第1章测量误差与不确定度评定及实验数据处理实验是在理论思想指导下，利用科学仪器设备，人为地控制或模拟自然现象，使它以比较纯粹和典型的形式表现出来，然后再通过观察与测量去探索自然界客观规律的过程。物理实验的目的是探寻和验证物理规律，而许多物理规律是用物理量之间的定量关系来表达的。由于自然条件错综复杂，变化多端，即使在实验室中作了充分控制也难免不受影响。所以，观察与测量也不会永远是在理想化的条件下进行，所谓“完善的测量”是做不到的。无论是实验的设计、操作，都要考虑误差对实验结果的影响。测量误差理论可以帮助我们合理选择测量仪器、安排操作步骤。一个复杂的实验，往往只有几个关键的测量量对实验结果影响较大，误差理论可以帮助我们抓住主要矛盾。对实验结果的可靠性，既不能人为夸大而造成潜在的危害，也不能人为缩小而造成可能的浪费。应力求用小的代价取得好的结果，而不能片面地认为仪器越高级越好、环境条件越稳定越好等。可以说，实验过程的每一步都与测量误差理论密切相关。在物理实验中，可以获得大量的测量数据，这些数据必须经过认真的、正确的、有效的处理，才能得出合理的结论，从而把感性认识上升为理性认识，形成或验证物理规律；否则，测量数据就会毫无价值。所以数据处理是物理实验中的一项极其重要的工作。不确定度评定是数据处理工作的核心。1.1测量及误差〖*4/5〗1.1.1测量的基本概念1. 量、测量和单位任何现象或实体都以量来表征，量具有对现象和实体作定性区别或定量确定的特征。定量就需要进行测量。测量是通过实验方法（包括所用的测量方法、测量仪器）为确定客观事物（被测对象）的测量值而取得定量数据的过程。为确定被测对象的测量值，首先要选定一个单位即标准量，然后将被测对象与这个标准量进行比较，比较的结果给出被测量是测量单位的若干倍或几分之几，这一比值即为反映被测量值的数字。显然，数字的大小与选用的单位有关，在表示一个被测对象的测量值时必须包含数值和单位两个部分。测量过程中，测量单位必须以物质形式体现出来，这就需要标准器具和仪器。为保证量值准确统一，对基本量建立了相应的基准，由基准给出量值单位的真值（或约定真值）。为满足不同精度的测量要求，需要建立量值的传递系统。实现量值的逐级传递需要一定的测量器具和测量方法，并有相应的精度要求。目前，在物理学上各物理量的单位，都采用中华人民共和国法定计量单位，它是以国际单位制（SI）为基础的单位。国际单位制是在1960年第11届国际计量大会上确定的和之后修改充实的，它是以米（长度）、千克（质量）、秒（时间）、安培（电流强度）、开尔文（热力学温度）、摩尔（物质的量）和坎德拉（发光强度）作为基本单位，称为国际单位制的基本单位；其他量（如力、能量、电压、磁感应强度等）的单位均可由这些基本单位导出，称为国际单位制的导出单位。2. 测量方法及其分类对不同的被测量和不同的测量要求，需要采用不同的测量方法。这里，测量方法是泛指测量中所涉及的测量原理、测量方式、测量系统及测量环境条件等诸项测量环节的总和。测量中这些环节的一系列误差因素都会使测量结果偏离真实值而产生一定的误差。因此，对测量过程诸环节的分析研究是测量数据处理及其精度估计的基础。〖1〗大学物理实验（第2版）第1章测量误差与不确定度评定及实验数据处理〖2〗按不同的原则，可对测量方法进行不同形式的分类。按照对实验数据处理方式的不同，在基础物理实验中可把测量方法归并为直接测量和间接测量两大类。（1） 直接测量直接测量是将被测量与作为标准的量直接进行比较，或者用经标准量标定了的或事先刻度好的仪器对被测量进行测量，从而直接获得被测量值。例如，用尺子测量长度、用温度计测量温度、用电流表测量电流就可分别直接得到长度、温度、电流量。（2） 间接测量间接测量是指直接测量与被测量有确定函数关系的其他量，然后按这一函数关系间接地获得被测量值的方法。例如，为测量圆的面积S，可直接测量其直径d，然后根据函数关系S=πd2/4求得面积。又如，用伏安法测电阻，就是利用电压表和电流表分别测量出电阻两端的电压和通过该电阻的电流，然后根据欧姆定律计算出被测电阻的大小。1.1.2测量误差的基本概念1. 测量的误差人们在进行各种实验时，所获得的实验结果往往以相应数据的形式反映出来。例如，天文观测、大地测量、标准量值的传递、机械零件加工、仪器的装调、实弹射击、导弹发射等，这些实验结果给出相应的实验数据。实验给出的某个量值的实验数据总不会与该量值的理论期望值完全相同，因此称实验或实验数据存在误差，即实验误差。在测量工作中，对某个量进行测量时，该量的客观真值（客观上的实际值）是测量的期望值，测量所得数据与其差值即为测量误差。更具体地说，测量误差δ定义为被测量的测得值Xk（此处下标k表示第k次测量）与其相应的真值a之差。即δ=Xk-a（1）上述定义是误差的基本表达形式。为区别于相对误差（见下一小节），上述定义的误差也称误差。以下如不特别指明，测量误差均指误差。这里“测得值”是由测量所得的赋予被测量的值。若此值是示值（由测量仪器提供的被测量的值），则测得值是示值；若此值是被测量的若干个观测值（observation）的（算术）平均值，则测得值是平均值。它既可以是直接测量的结果，也可以是间接测量的结果。完整地阐述测量结果应包括测量的不确定度。不确定度是测量准确度的表征。它表示由于存在测量误差而使被测量值不能肯定的程度。根据误差理论提供的依据，可对测量的不确定度作出估计。这里的“真值”是指被测量的客观真实值，它是在某量所处的条件下通过完善的测量所得到或确定的量值，或者说是在某一时刻和某一位置或状态下某量的效应体现出的客观值。由于要做到“完善的测量”是极其困难的，所以在大多数场合被测量的（真）值是未知的，（量的）真值是理想概念。事实上，量子效应排除真值的存在。只有下述几种情况，被测量的（真）值是可知的。（1） 理论真值例如，平面三角形内角之和恒为180°，同一量值自身之差为0而自身之比为1。（2） 计量学的约定真值例如，长度单位1m是光在真空中在1/299792458s时间间隔内所行进的路程。光速的数值及不确定度在历史上有过几次变动，但随着科学技术的进步，总的趋势是逐步逼近真值的。在1975年第15届国际计量大会上，光速的推荐值是299792458m/s，其（标准）不确定度为±4×19-9m/s。长度单位1m是计量学的一种约定真值。常数委员会1986年推荐的阿伏伽德罗常量6.0221367×1023mol-1，其标准不确定度为±0.0000036×1023mol-1，也是计量学的约定真值。约定真值都具有一定的不确定度，但就所要达到的目的而言，其本身的不确定度可以忽略不计。（3） 标准器具的约定真值此约定真值指在给定地点，由参考标准（即具有所能得到的计量特性的计量标准）复现的量值。例如，作为参考标准的标准砝码、标准物质、标准测量仪器等在其证书中所给出的值，市场上公平秤给出的值也作为市场上的约定真值。有时，可通过某种手段获得真值的近似值，当这一近似值与真值的差值在实际问题中可以忽略不计时，就可以用这一近似值代替真值，从而计算出测量误差。此时称这一近似值为相对真值。在相当长的时间里，测量的准确度用误差表示，应该说误差具有清晰的概念，它已被大众广泛接受。但是由于被测量的（真）值在大多数情况下是未知的，这就使得用误差来表示测量结果的准确度遇到了困难。过去也把如前述的光速和阿伏伽德罗常量的不确定度±4×10-9m/s和±0.0000036×1023mol-1叫做误差，实际上它们并不是误差的具体值，而是给出的一个数值区间，即给出了以“±”号前面的数值为中心，以“±”号后面的数值为区间的范围，而实际值（或被测量的真值）则（以一定的概率）落在此区间内。为了避免造成概念上的混乱，人们提出了不确定度的概念，凡是用区间（“±”号）并以一定的概率（称为置信概率，用P表示）给出的误差指标称为不确定度。这个概念已为国际上所采用。2. 测量的相对误差误差按其表示方式，可分为误差和相对误差，两者都是代数量，可正可负。相对误差δR是（）误差δ与被测量的（真）值a之比，即δR=δ/a（2）相对误差通常以百分数（%）表示，习惯上把被测量有准确真值或有准确公认值和理论值时的相对误差称为百分误差。由于a在大多数场合是未知的，而测得值的误差通常很小，因此，在相对误差的表示中，往往以测得值代替被测量的（真）值，即δR=δ/Xk（3）用相对误差能确切地反映测量效果，被测量的量值大小不同，允许的测量误差也应有所不同。被测量的量值越小，允许的测量误差值也应越小。引入相对误差的概念就能很好地反映这一差别。例如，有两个测量结果： X1=(1.00±0.01)cm，X2=(10.00±0.01)cm，虽然误差（不确定度）均为0.01cm，但由于被测量量值的大小不同，显然后者的测量效果优于前者。仪器的引用误差属于相对误差的一种，引用误差定义为引用误差=示值误差引用值×100%（4）式中引用值通常指全量程值（或量程上限），必要时参阅仪器说明书；示值误差常用误差值表示。我国的电工仪表等大多数采用引用误差，分为0.1、0.2、0.5、1.0、1.5、2.5和5.0等级别。若仪表为1.5级，说明合格仪表允许引用误差为1.5%。如果仪表的量程为0～XF，仪表示值为Xk，则该仪表在Xk邻近的示值误差值（亦称极限误差或误差限或不确定度限）≤XF×1.5%，或者说示值误差值的相对误差≤XFXk×1.5%。一般情况下，Xk≤XF，故当Xk越接近XF，相对误差越小，反之则相对误差较大。我们使用这类仪表测量时，测量值应尽可能在所选仪表的上限值邻近或2/3量程值以上。例1经检定发现，量程为250V的2.5级电压表在123V处的示值误差，为5V（指与标准表比较）。问该电压表是否合格？解按电压表精度等级的规定，2.5级表的允许引用误差应为2.5％。而该电压表的引用误差为q=5250×100%=2%因引用误差小于允许引用误差，故该电压表合格。3. 误差按其性质的分类从不同的角度出发，可对测量误差作出种种区分。如按照测量误差的表示方式可将其分为误差和相对误差；按照测量误差的来源可将其区分为装置误差、环境误差、方法误差、人员误差等；按照对测量误差的掌握程度，可将其区分为已知的误差和未知的误差；按照测量误差的特征规律，可将其区分为随机误差和系统误差两大类。还有一类误差，由于外界干扰、操作读数失误等原因而明显超出规定条件下的预期值，以前称为粗大误差。包含粗大误差的测得值或粗大误差称为异常值（outlier）。测量要避免出现高度显著的异常值，已被谨慎确定为异常值的个别数据要剔除。（1） 随机误差在重复条件下，对同一被测量实行多次测量时，每个观测值或测量结果Xk通常会有所不同。可以推测这是由于对测量结果有影响的量发生不可预测的或随机的时空变化造成的（有时这也源于被测量定义的不完整），例如，测量时周围温度的微小变化，外界环境造成的微弱振动，局部的空气湍流，电网电压、频率的小量起伏等。这使得测量结果在测量前不可预知，事实上有无穷多个随机取值，可表示为随机变量X。对于随机变量，可以定义它的数学期望（均值）：E（X）=μ（5）有关随机变量及数学期望的概念见1.1.3节。随机误差δr定义为测量结果Xk减去在重复条件下对同一被测量实行无限多次测量结果的平均值μ（数学期望），即δr=Xk-μ（6）这里提到的重复条件是指相同的测量方法、相同的测量人员、相同的条件下使用相同的测量装置并在相同的地点短时间内重复测量。强调短时间内是为了保持相同的测量环境。由于测量结果可被看作随机变量，故随机误差也是随机变量，具有随机变量的一切特征。在单个的测量数据中，这类误差表现出无规则性，不具有确定的规律，但在大量的测量数据中却表现出统计规律性，其取值具有一定的分布特征，因而可利用概率论提供的理论和方法来研究。由于随机误差取值是不可预知的，因而不能通过“修正”的方法消除掉，但可以通过改善测量条件和增加测量次数来减小。随机误差对测量结果的影响不能以误差的具体值去表达，只能用统计的方法作出估计。（2） 系统误差系统误差δs是在重复条件下对同一被测量实行无限多次测量结果的平均值μ减去被测量（真）值a,即δs=μ-a（7）它表现为其值固定不变或按确定的规律变化。例如，加工误差会使量块具有一恒定的系统误差；温度变化会使金属刻度尺伸缩而产生误差；电压波动会使仪表示值产生相应的误差等。这里所谓确定的规律是指在顺次考察各测量结果时，测量误差具有确定的值（当随机误差可忽略不计时），在相同的考察条件下，这一规律可重复地表现出来，因而原则上可用函数的解析式、曲线或数表表达出来。如果已认识到某个系统误差是对测量结果有影响的某一量引起的，且可以定量给出，则应设法予以修正。对测量仪器而言，其系统误差称为仪器的偏差误差（bias error）。应当指出，系统误差虽有确定的规律性，但这一规律并不一定确知。按照对其掌握的程度可将系统误差分为已知的系统误差（确定性的系统误差）和未知的系统误差（不确定的系统误差）。显然，数值已知的系统误差可通过“修正”的方法从测量结果中消除。系统误差来源于仪器的固有缺陷、实验方法的不完善或这种方法所依据的理论的近似性、环境的影响、实验者缺乏经验和生理或心理的特点。需要特别指出的是，系统误差的消除、减小或修正属于技能问题，可以在实验前、实验中、实验后进行。例如，实验前对测量仪器进行校准，使方法尽可能完善，对人员进行专门训练等；在实验中采取一定方法对系统误差加以补偿；实验后在结果处理中进行修正等。虽然系统误差的发现、消除、减少或修正是一个技能问题，但是，要找出其原因，寻求其规律绝非轻而易举之事。这是因为：① 实验条件一经确定，系统误差就获得了一个客观上的恒定值，在此条件下进行多次测量并不能发现该系统误差；② 在一个具体的测量过程中，系统误差往往会和随机误差同时存在，这给分析是否存在系统误差带来了很大的困难。能否识别和消除系统误差，与实验者的经验和实际知识有着密切关系。因此，对于初学实验者来说，应该从一开始就逐步地积累这方面的感性知识，在实验时要分析： 采用这种实验方法（理论）、使用这套仪器、运用这种操作技术会不会对测量结果引入系统误差？科学史上曾有过这样一个事例：1909—1914年间美国著名物理学家密立根以他巧妙设计的油滴实验，证实了电荷的不连续性，并精确地测得元电荷的大小为e=(1.591±0.002)×10-19C后来，由X射线衍射实验测得的e值却与油滴实验值差了千分之几。通过查找原因，发现密立根实验中所用的空气黏滞系数数值偏小，以致引入了系统误差。在重新测量了空气的黏滞系数之后，由油滴实验测得的e值为e=(1.601±0.002)×10-19C它与X射线衍射法测得的结果（1.6020±0.0002）×10-19C十分吻合。此例说明了实验条件一经确定，多次测量（密立根曾观测了几千个带电油滴）也发现不了系统误差，必须要用其他的方法（本例中改变了产生系统误差根源的条件），才可能发现它；同时也说明了实验中应从各方面去考虑是否会引入系统误差，当忽略某一方面时，系统误差就可能从这一方面渗透到测量结果中来。后应当指出的是，虽然按定义来区分测量误差是随机误差还是系统误差是非常明确的，但在实验测量工作中，有时这两类误差却不易区别，因为在一定条件下这两种误差的性质可以互相转化。例如，原来被看成是随机误差的测量误差，随着科学技术水平的提高，可以发现引起这种误差的原因，从而能够掌握这种误差的变化规律，这样就有可能把这种误差当作系统误差来对待。也会有相反的情况： 原来被看成是系统误差的测量误差，造成这种误差的原因及变化规律也能被掌握，由于造成误差的已知因素变化比较频繁或很复杂，同时对测得值的影响又很微弱，若掌握其变化规律所付的代价较大，在能够满足实际需要的情况下，可以把这种误差当作随机误差，用统计方法来研究。以上关于随机误差和系统误差的定义的好处是在数学上有明确的表示式（6）和式（7），但这样实际上是把不具有抵偿性（抵偿性是指当测量次数足够多时正、负误差之和的值近似相等）的随机误差也归入了系统误差。显然，对于这类误差，也应该用统计的方法来研究其对测量结果的影响。大多数随机误差有抵偿性，相当多的还有单峰性，即值小的误差出现概率大，随机误差分布绝大多数是“有界性”的。测量结果的误差包括随机误差和系统误差，即δ=δr δs,通常认为δ是由很多个随机影响和系统影响引起的。但由于如前所述的情况，对其影响的评定（以“不确定度”表征），对于二者都既可以用统计的方法来评定，也可以用非统计的方法来评定。4. 测量的准确度测量结果中随机误差和系统误差的影响程度通常用精密度（反映随机误差的影响程度）、正确度（反映系统误差的影响程度）和准确度（又称精确度，反映随机误差和系统误差的综合影响程度）的高低来表示。可以形象地用图1来说明。子弹落在靶心周围有三种情况： 图1（a）表示随机误差小但系统误差大，即精密度高但正确度低；图1（b）表示系统误差小而随机误差大，即正确度高而精密度低；图1（c）表示随机误差和系统误差都小，即准确度高。图1精密度、正确度和准确度测量结果的精确程度在数值上以“不确定度”表征。它反映的是测量结果中随机误差与系统误差的综合影响，是评价测量方法优劣的基本指标之一。1.1.3随机变量统计规律的表述1. 随机变量的分布函数和分布密度随机变量的统计规律已在概率论中作了详细论述。在概率论中，把可以取特定的一组值中的任意值，即取值同其概率分布有关的变量称为随机变量。也就是说，对于随机变量，单独一个取值是不能描述该随机变量的，即使列举出该随机变量的全部可能取值，仍不能完全描述它。要完全描述这个随机变量，还必须给出各种可能取值及其出现的概率。由于测量工作不完善以及人们对被测量及其影响的认识不足，它们所引起的随机误差是一种随机变量。作为随机变量，随机误差δr的统计规律可由分布函数F(x)或分布密度函数f(x)给出完整的表述。所谓分布函数即随机变量δr小于或等于任意实数x的概率，即F（x）=P（δr≤x）（8）式中，P(δr≤x)表示作为随机变量的随机误差取值小于x的概率。从数学抽象上来讲，设X是一个随机变量，X的可能值的全体便称为总体（或母体），把X称为总体变量，把X的分布函数F（x）称为总体的分布函数。图2随机变量的分布函数若随机变量取值在数轴上，P（X<x）表示随机变量落在x点左面的概率（见图2）。当x点右移（即x增大）时这一概率增大；当x点右移至无穷远处（x→ ∞）时，这一概率为1，即F( ∞)=1（9）反之，当x点向左移（即x减小）时，这一概率减小；当x点左移至无穷远处（x→-∞）时，这一概率为0，即F（-∞）=0（10）可见，分布函数是非负函数（即其取值为正数或零），也是非降函数（随x的增大分布函数不会减小）。利用分布函数可以给出随机变量落入任意区间上的概率，这对随机误差分布的理论分析与实际计算十分有用。随机变量的分布密度函数f(x)是分布函数F(x)的导数（设F(x)可导）：f(x)=F′(x)（11）而分布函数为分布密度函数的积分：F(x)=∫x-∞f(x)dx（12）由于分布函数F（x）是非降函数，因此分布密度函数是非负的，即f(x)≥0（13）因为F( ∞)=1，所以分布密度函数从-∞到 ∞的积分等于1，即∫∞-∞f(x)dx=1（14）这一积分是整个分布密度函数曲线下的面积，代表随机变量全部取值的概率。而在任意区间［a,b］内的概率则为P(a≤x≤b)=∫baf(x)dx（15）这一概率是区间［a,b］上分布密度函数曲线下的面积。分布函数或分布密度函数给出了随机变量X取值的概率分布，这是对随机变量统计特征的完整描述，是十分有用的。2. 随机变量的数字特征随机变量的分布函数或分布密度函数完整地描述了随机变量的分布特性。但在实际测量数据处理中，一方面，要确定被测量观测值的分布函数或分布密度函数的具体函数形式相当困难；另一方面，在某些问题中，并不需要全面了解观测值的分布函数或分布密度函数，而只要求了解被测量观测值（一种随机变量）的某些特征就可以了。在测量不确定度的表示中，数学期望和方差（或者用方差的正平方根即标准差）是基本的特征量。实验数据处理中，基础工作是根据被测量的观测值（实验数据），求出被测量之数学期望和方差的估计值。（1） 数学期望随机变量X的数学期望E（X）定义为X的所有取值X1，X2，…，Xk，…的平均值：E(X)=1n∑nk=1Xk，n→∞（16）此处取n→∞是因为被测量的观测值或随机误差作为随机变量其取值是无限的。若随机变量X的分布函数为F（x），则数学期望定义为E(X)=∫∞-∞xdF(x)=∫∞-∞xf(x)dx（17）即数学期望是以随机变量取值的概率为权，对X的加权平均。式（16）表示各Xk值的权都是1/n。因为F(x)是总体的分布函数，因此数学期望也即总体的均值。它反映了X的平均特征，或者说数学期望E（X）是X所有可能取值的平均值。当然，这只是一种抽象，因为取值Xk实际上是无限的，不可能找出它的所有可能取值。即对于随机变量X而言，其总体均值(即期望)E(X)在大多数情况下是未知的，须用样本均值来估计。关于样本均值的概念见1.2.3节的第2部分。可证明数学期望有如下性质：① 设C是常数，则有E(C)=C；② 设X是随机变量，C是常数，则有E(CX)=CE(X)③ 设X1、X2是任意两个随机变量，则有E(X1 X2)=E(X1) E(X2)该性质可以推广到任意有限个随机变量的和的场合。例： 把测量结果作为随机变量用X表示，即把式（6）中的Xk用X代替，取期望得E(δr)=E(X-μ)=E(X)-E(μ)=μ-μ=0（18）即由式（6）所定义的随机误差的数学期望为零。这一性质称为随机误差的抵偿性。较直观一点就是说当n→∞时，有1n∑nk=1δrk→0（19）即当测量次数足够大时，该随机误差的算术平均值趋于零注意∑nk=1δrk并不趋于零。④ 设X1、X2是两个相互独立的随机变量，则有E(X1X2)=E(X1)E(X2)这里X1、X2相互独立，直观地说就是它们取值时互不牵连，亦即指X1和X2互不影响。该性质也可以推广到任意有限个相互独立的随机变量之积的场合。（2） 方差和标准差随机变量X的方差σ2(X)定义为σ2(X)=E(X-E(X))2（20）因E(X)=μ，所以方差即总体(X1-μ)2,(X2-μ)2,…,(Xk-μ)2,…的均值：σ2(X)=1n∑nk=1(Xk-μ)2，n→∞（21）上式也称为总体方差。通常由于总体均值μ未知，导致总体方差无法计算，也须用样本方差来估计。若已知X的分布密度为f(x)，则σ2(X)=∫∞-∞［x-E(X)］2f(x)dx（22）可证明方差具有如下性质：① 设C是常数，则有σ2(C)=0② 设X是随机变量，C是常数，则有σ2(CX)=C2σ2(X)③ 设X1、X2是两个相互独立的随机变量，则有σ2(X1 X2)=σ2(X1) σ2(X2)该性质可以推广到任意有限多个相互独立的随机变量之和的场合。实际上更常用标准差（或称均方差），它定义为方差的正平方根，即σ(X)=σ2(X)（23）显然，方差或标准差反映了测量值或随机误差取值的分散程度，或重复测量各测量值的密集程度（即测量的精密度）。方差或标准差大，表明误差取值的分散程度大；方差或标准差小，表明误差取值的分散程度小。但须注意，测量值密集（精密度高）并不表示其与真值的接近程度高。（3） 协方差和相关系数对于不相互独立的两个随机变量X1和X2，数学上可用一个二维的随机变量（X1，X2）来表示。对于二维随机变量，除了要了解它们各自的期望和方差外，还要了解X1和X2之间的相互关系。协方差是度量它们相互依赖关系的数字特征。按方差的定义σ2(X1 X2)=E［(X1 X2)-E(X1 X2)］2=E{X21 X22 2X1X2 ［E(X1)］2 ［E(X2)］2 2E(X1)E(X2)-2(X1 X2)E(X1 X2)}=E{X21-2X1E(X1) ［E(X1)］2 X22-2X2E(X2) ［E(X2)］2 2X1X2 2E(X1)E(X2)-2X1E(X2)-2X2E(X1)}=E［X1-E(X1)］2 E［X2-E(X2)］2 2E［(X1-E(X1))(X2-E(X2))］=σ2(X1) σ2(X2) 2E［(X1-E(X1))(X2-E(X2))］X1和X2的协方差定义为Cov (X1,X2)=E［(X1-E(X1))(X2-E(X2))］（24）而ρ(X1,X2)=Cov(X1,X2)σ(X1)σ(X2)（25）称为随机变量X1和X2的相关系数。显然，当X1、X2相互独立时Cov(X1,X2)或ρ(X1,X2)为零。相关系数是随机变量X1和X2相互依赖性的度量。就一般情形而言，误差量或待测量之间存在一定的线性依赖关系，但这一依赖关系又不具有确定性。此时，线性依赖关系是在“平均”意义上的线性关系，是指一个误差量或待测量随另一个误差量或待测量的变化具有线性关系变化的倾向，但其具体取值又不遵从确定的线性关系而具有一定的随机性，这就是误差量或待测量之间的相关关系。线性相关关系表示误差量或待测量之间的线性依赖关系的趋势，而并非确定的线性关系。这一线性相关关系有强有弱，随着相关性的加强，线性关系的倾向增强，相互间联系的随机性减小。误差量或待测量间的这一关系强时，一个误差或待测量的取值完全地决定了另一个的取值。此时，两个误差量或待测量间的关系已不再有随机性，而有一确定的线性函数关系。随着相关性的减弱，误差量或待测量间线性关系的趋势变弱，相互关系的随机性增强。当这一关系弱时，两个误差量或待测量的取值相互间无任何影响，一个取值的大小与另一个取值的大小无关，这是互不相关的情形。通常，两个误差量或待测量的关系是属于上述两种情形之间的相关关系。注： 上述的相关和不相关是指线性相关和线性不相关。一般地说，对两个随机变量，仅仅线性不相关（ρ=0）并不能保证它们相互独立，因为它们还可能存在着非线性的依赖关系。但相互独立则能保证它们线性不相关。（4） 平均误差实际中有时也用平均误差作为数据精度的评定参数。随机变量X的平均误差θ定义为测量误差值的数学期望，即|X1-μ|,|X2-μ|,…,|Xk-μ|,…的（总体）均值：θ=1n∑nk=1|Xk-μ|,n→∞（26）若X的分布密度函数为f(x)，则θ=∫∞-∞|x-μ|f(x)dx（27）注： 把θ称为“误差”易产生误解。其实它与σ一样是误差的表征参数而不是误差值本身。从反映测量值或随机误差取值的分散性来看，θ不如σ灵敏(见例2)，且不便于统计计算，实践上已趋于淘汰。（5） 方差的传递在间接测量时，待测量是由直接测量的量通过计算而得到的。若Y=f(X1,X2,…,XN)（28）在X1,X2,…,XN的期望值μ1,μ2,…,μN附近按泰勒级数展开，忽略二阶及以上项，有Y≈f(μ1,μ2,…,μN) fX1μ1,…,μN(X1-μ1) … fXNμ1,…,μN(XN-μN)（29）因f(μ1,…,μN),fX1μ1,…,μN,…,fXNμ1,…,μN都是常数，于是有Y的期望值E(Y)≈f(μ1,μ2,…,μN)（30）则［Y-E(Y)］2≈fX12μ1,…,μN(X1-μ1)2 … fXN2μ1,…,μN(XN-μN)2 … 2∑Ni=1∑N-1j=i 1fXiμ1,…,μNfXjμ1,…,μN(Xi-μi)(Xj-μj)（31）两边取期望，得σ2(Y)≈∑Ni=1fXi2μ1,…,μNσ2(Xi) 2∑Ni=1∑N-1j=i 1fXiμ1,…,μNfXjμ1,…,μNCov(Xi,Xj)（32）上式称为方差传递公式。由于期望μi(i=1,2,…,N)一般是未知的，导致方差σ2(Xi)(i=1,2,…,N)无法计算，实际须用不确定度传递公式(见1.2.4节式(57)或式(60))代替。1.1.4正态分布随机误差的统计规律及其表述1. 正态分布随机变量的分布密度函数正态分布初是在误差理论的研究中提出来的。高斯（Gauss）于1795年推导出它的函数形式，所以又称为高斯分布。通常随机误差服从或近似服从正态分布。若连续型随机变量X的分布密度函数为图3正态分布密度函数f(x)=1σ2πe-(x-μ)22σ2,-∞<x<∞（33）其中μ、σ为常数，且σ>0，则称X服从参数为μ、σ的正态分布，记为X~N(μ,σ2)。正态分布曲线如图3所示。由概率论的理论可知，正态分布的随机变量的和仍为正态分布的随机变量。但若有部分误差不服从正态分布，则误差和就不服从正态分布。不过当误差项数量增加，而又“均匀地”小（直观的解释即方差相差不太大），由概率论的中心极限定理可知，误差和的分布将趋于正态分布。这揭示了正态分布的重要性。2. 正态分布随机变量的表征参数（数字特征）若随机变量X～N（μ,σ2），则X的数学期望（由式（17））为E(X)=∫∞-∞x1σ2πe-(x-μ)22σ2dx=1σ2π∫∞-∞xe-(x-μ)22σ2dx=μ（34）可见，正态分布的期望为μ，从而正态分布随机误差X-μ的数学期望为零，这也是前面所述的随机误差抵偿性的反映。X的方差（由式（22））则为σ2(X)=∫∞-∞(x-μ)21σ2πe-(x-μ)22σ2dx=σ2（35）可见，正态分布随机变量的方差等于其分布密度函数的参数σ的平方。由此可见σ的重要性。显然，参数σ即为标准差。由图4可见，标准差大，相应的分布曲线低而宽，表明误差取值分散程度大，对测量结果的影响就大。标准差小，则情形正相反。例2求正态分布随机误差值的数学期望（平均误差）。解θ=∫∞-∞|x-μ|1σ2πe-(x-μ)22σ2dx=2πσ=0.7979σ因θ<σ,故在表示分散性时θ不如σ灵敏。图4不同标准差的正态分布密度函数图5正态分布函数取值的概率3. 正态分布随机误差概率的计算由分布密度的定义，随机变量X～N（μ,σ2）取值在区间［a,b］的概率为P(a≤X≤b)=∫baf(x)dx=1σ2π∫bae-(x-μ)22σ2dx（36）通过变量替代u=x-μσ后，可通过查概率积分表求得积分的值亦即概率P(a≤X≤b)。而X取值在区间［a,b］之外的概率则为α=1-P（37）对于给定的α，称区间［a,b］为随机变量X的一个置信区间，而称P=1-α为置信系数或置信度。例3分别求出正态分布随机误差X-μ出现于±σ、±2σ、±3σ范围内的概率P1、P2和P3（图5）。（或μ包含于随机区间X±σ、X±2σ和X±3σ的概率P1、P2和P3）解P1(-σ≤X-μ≤σ)=1σ2π∫σ-σe-(x-μ)22σ2d(x-μ)=212π∫10e-u22du=0.6826P2(-2σ≤X-μ≤2σ)=1σ2π∫2σ-2σe-(x-μ)22σ2d(x-μ)=212π∫20e-u22du=0.9545P3(-3σ≤X-μ≤3σ)=1σ2π∫3σ-3σe-(x-μ)22σ2d(x-μ)=212π∫30e-u22du=0.9973即区间［μ-σ,μ σ］、［μ-2σ，μ 2σ］、［μ-3σ，μ 3σ］包含的面积分别占概率分布总面积的约68%、95%、99%。由上例可知正态分布的随机误差取值超出±3σ的概率仅为0.27%，因而一般将±3σ视为这一误差的实际界线。即认为实际的误差不会超出其极限误差±3σ。例4求出正态分布随机误差X-μ出现于±θ范围内的概率P。解P(-θ≤X-μ≤θ)=1σ2π∫θ-θe-(x-μ)22σ2d(x-μ)=1σ2π∫2πσ-2πσe-(x-μ)22σ2d(x-μ)=212π∫2π0e-u22du=0.5751以上例题都是给定一个区间[a,b](称为“置信区间”)，由分布求出随机变量(X-μ)在这一区间的概率P[或总体随机变量分布中的未知参数μ包含于区间(X-b，X-a)的概率P](亦称“置信概率”)。反过来，如果给定P(或α)，也可以由分布求出随机变量或μ的置信区间。由于误差(作为随机变量)的具体数值是未知的，所求得的区间如X±σ、X±2σ、…为随机区间，但如果选定了一个样本，X±σ、X±2σ、…区间就变成了确定的区间，它或者包含μ，或者不包含μ，此时概率P(如P1、P2、…)的意义是: 由不同样本确定的置信区间中覆盖μ的区间所占的百分比。这些置信区间给出了总体均值(当系统误差为零时，总体均值即为真值)可能存在的范围的估计。1.2实验不确定度的评定〖*4/5〗1.2.1不确定度的由来测量的目的是确定被测量的值。测量不确定度表示由于存在测量误差而使测量结果不确定或不能肯定的程度，也就是不可信度，它是测量准确度的表征，表示测量结果与被测量（真）值之间的一致程度。在相当长的时间里，测量准确度用测量误差表示。测量误差δ是被测量的测得值Xk与其相应的真值a之差。由于被测量的（真）值在大多数情况下是未知的，这就使得用误差来表示测量结果的准确度遇到了困难。为了避免造成概念上的混乱，20世纪60年代提出了用不确定度表示测量准确度的建议，70年代得到进一步发展，不确定度术语在测量领域有了应用，但表示方法却各不相同。1977年，美国国家标准局（现在的美国国家标准和技术研究院的前身）的局长向国际计量委员会提出了提案，要求解决测量不确定度表示的国际统一问题。之后，国际计量委员会和国际计量局向几十个国家的计量实验室及五个国际组织征求意见，并成立了“关于不确定度表述”工作组，该组于1980年起草了“关于表述不确定度的建议”INC—1（1980），并于1981年由第70届国际计量委员会作了讨论。国际计量委员认为该工作组的建议可以作为不确定度表达方式的终协议的基础，并提出，该工作组的建议可向有关方面推广；国际计量局在今后的比对工作中积极采用这些建议的原则，提倡有关机构研究和试用这些建议。1986年，国际计量委员会要求国际标准化组织（ISO）在INC—1（1980）建议书的基础上起草一份能被广泛应用的指南性文件。在国际计量局（BIPM）、国际电工委员会（IEC）、国际临床化学联合会（IFCC）、国际标准化组织（ISO）、国际理论物理与应用物理联合会（IUPAP）、国际理论化学与应用化学联合会（IUPAC）及国际法制计量组织（OIML）的支持下，国际标准化组织于1993年出版了《测量不确定度表示指南》（Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement），目的是促进以足够完整的信息表示不确定度，统一测量不确定度的评定与表示方法，为测量结果的国际比对提供基础。该“指南”在建议书INC—1（1980）的基础上，对测量不确定度的评定与表示方法作出了具体明确的规定与说明，是规范测量不确定度评定与表示的国际文件。我国于1999年由国家质量技术监督局发布了计量技术规范JJF 1059—1999《测量不确定度评定与表示》，原则上等同采用《测量不确定度表示指南》（GUM）的基本内容，这是我国该项内容的法规性文件。这样，对测量结果表示及其可靠性的评定就有了统一的准则和依据。1.2.2不确定度的概念及表征参数测量不确定度反映了测量误差对测量结果的影响，它的大小表示了测量结果的可信程度。测量误差的或大或小，或正或负，其取值具有一定的分散性，即不确定性。在多次重复测量中，可看出测量结果将在某一范围内波动，从而展示了这种不确定性。测量结果可能的取值范围越大，即其误差值的可能范围越大，表明测量误差对测量结果的影响越大（在概率的意义上），测量结果的可靠性越低；反之，测量结果可能的取值范围越小，表明测量误差对测量结果的影响越小，即测量结果不确定的程度越小，因而测量结果也就越可靠。前面已给出了表征随机变量X分布特征的参数——方差σ2和标准差σ。方差σ2或标准差σ反映了测量结果（或测量随机误差）可能取值的分散程度。σ2或σ较大，表明测量结果的取值范围较宽，在概率意义上对测量误差的影响较大，应认为该测量结果的精度较低，或可靠性较差；反之，σ2或σ较小，表明测量误差的影响小，测量结果取值不确定的程度小而精度高。方差或标准差是测量随机误差作用的表征参数，与误差值本身不同。因此，方差σ2或标准差σ可作为测量不确定性的表征参数。对于随机误差，参数σ2或σ一般可用统计方法进行估计，因此在实践上是使用估计的标准差s作为随机误差引起的不确定度的表征参数，用u表示，即u=s，在不确定度的表述中常称u为标准不确定度。这是估计不确定度的统计方法。但是由于客观条件的制约，实际中有相当多的误差因素的标准差无法用统计方法给出，特别是对某些系统性误差更是如此。（另外，随机误差作用的表征参数（标准差）也并非总是要用统计的方法估计。）此时，需借助其他方法，在详细研究测量过程的基础上，按误差的作用机理来确定标准差，这就是非统计的方法。这类方法依赖某种非统计实验和对测量方法及以往实验资料的深入分析，没有固定的模式和规则化的方法，应针对具体的测量的问题去研究，因此用非统计的方法估计不确定度更为困难，它是基于经验或其他信息假定的概率分布对不确定度进行评定，也用（估计的）标准差u来表示。为了表达方便，把用统计方法评定的不确定度分量称为A类评定，所评定的不确定度分量称为A类不确定度，记为uA；把用其他方法（非统计方法）评定的不确定度分量称为B类评定，所评定的不确定度分量称为B类不确定度，记为uB。要注意A类、B类的差别只是评定方法不同而已。A类和随机、B类和系统不存在简单的对应关系。1.2.3不确定度的估计1. 概述根据表示方式的不同，测量不确定度在使用中有下述三种不同的说法。标准不确定度u（standard uncertainty）是用标准偏差表示的测量结果的不确定度。合成标准不确定度uc（combined standard uncertainty）简称为合成不确定度。根据其他一些量值求出测量结果的标准不确定度，等于这些量的方差与协方差加权和的正平方根，权重按测量结果随这些量的变化而确定（见1.2.4节）。扩展不确定度U（expanded uncertainty）是用包含因子k（coverage factor）乘以合成标准不确定度，得到一个区间来表示的测量不确定度。它将合成标准不确定度扩展了k倍，从而提高了置信水平，称为扩展不确定度，也曾用总不确定度（overall uncertainty）来称呼。所以，扩展不确定度是规定测量结果区间的量，可期望该区间包含了合理赋予的被测量值分布的大部分。为了将扩展不确定度所定义的区间与一定的置信水平联系起来，需要清楚了解测量结果及其合成标准不确定度表征的概率分布，或者合理假设其概率分布。只有当这些假设正确时，赋予此区间的置信水平才可能知道。从数理统计的观点看，不确定度是对总体的未知参数（数学期望或真值）的区间估计。参数的区间估计应给出包含参数的区间及参数包含于这一区间的概率。不确定度也可以相对量的形式给出，如u（X）/X、U(X)/X等。2. 用统计的方法估计不确定度用统计的方法估计不确定度又称为不确定度的A类评定。其基本方法是Bessel公式法。设在相同的条件下，对被测量X进行n次独立重复测量，得观测值Xk, k=1,2,…,n，则X可看作随机变量。在数理统计中，把X的全部可能取值称为一个总体，而把组成总体的每个基本单元Xk称为个体，从总体中随机抽取n个个体（X1,X2,…,Xn）称为抽样，抽取的n个个体称为容量为n的子样（或样本）。实际上，常难以对总体作全面研究，一般只能取有限个个体（即子样）加以研究，以推出总体的某种特征。当然，子样并不是总体，因而由子样给出的结果只能说是总体特征的近似。这里子样应是随机抽取的，并满足如下条件： 抽取的子样个体Xk是独立的，且与总体X具有相同的分布。这样上述的n个观测值（X1,X2,…,Xn）便是一个容量为n的随机样本。《测量不确定度指南》推荐用Bessel公式求观测值的实验方差，即s2(Xk)=1n-1∑nk=1(Xk-X)2（38）式中X=1n∑nk=1Xk（39）为样本的算术平均值，也是随机变量。利用随机误差的抵偿性容易证明，X是随机变量X的期望μ的估计值，即当n→∞时，X→μ，或E(X)=μ。由Xk的独立性可以证明，s2(Xk)是对总体方差σ2(Xk)的无偏估计，即E(s2(Xk))=σ2(Xk)。s2(Xk)也称为样本方差，常写成s2X。在不会发生混淆的情况下，也可写成s2。它的正平方根s(Xk)=1n-1∑nk=1(Xk-X)2（40）称为实验标准偏差或样本标准偏差，也可写成sX或s。它是n个观测值中任一次观测值的标准偏差，常称为单次观测值或测量列的实验标准偏差。因X也是随机变量，因而可求其期望和方差。其期望即为μ,其方差σ2（X）（或写成σ2X）则可以证明是σ2(X)=σ2(Xk)n（41）（注意此处的n为有限值）而s2(X)=s2(Xk)n（42）也常写成s2X=s2Xn则是σ2(X)的无偏估计，即E［s2(X)］=σ2(X)。X的实验标准偏差s(X)是s2(X)的正平方根，即s(X)=1n(n-1)∑nk=1(Xk-X)2（43）s(X)(或写成sX)表示X对μ的分散性，它是s(Xk)的1/n。因此，测量次数n越大，所得算术平均值的标准差就越小，其可靠程度就越高。图6σX或sX与n的关系曲线但当n>10以后，σX或sX随n的增大而减小的速度下降（图6），所以测量次数的规定要适当，应顾及到实际效果，一般取n<10。在较高精度测量中，若以随机误差为主，并且测量条件较好，则测量次数可多些。3. 用其他方法估计不确定度用其他方法（非统计方法）估计不确定度称为不确定度的B类评定。B类评定在不确定度评定中占有重要地位，因为有的不确定度无法用统计方法来评定，或者虽可用统计方法，但不经济可行。所以在实际工作中，采用B类评定方法反而居多。例如在对被测量X进行单次测量时，由估读引起的不确定度分量以及由仪器的允差信息所决定的不确定度分量，因不是采用对一系列观测值的统计分析，故其不确定度评定属于B类评定。（1） 仪器的允差与仪器本身特性有关的信息可从生产厂商的技术说明书、校准证书、手册或其他来源（如有关测量装置（含仪器）的一般知识和材料的性能，以前的测量数据、经验或资料等）得到。在基础物理实验所用仪器中，遇到较多的是给出被测量的置信区间上下限即“极限误差”或“误差限”或“不确定度限值”±U仪（也称仪器的允差或仪器误差）的情况。即认为被测量X落在上限X U仪和下限X-U仪内的概率（严格地说，应是被测量的期望落在X U仪和X-U仪内的概率）为1，而落在该范围之外的概率为0。对于这种情况，若没有别的说明，那么只能假设X是按等概率落在该范围的任何地方，即假设X为均匀分布，其分布密度函数应为f(x)=12U仪，-U仪<x<U仪0,x<-U仪或x>U仪（44）其分布曲线为一相应于该范围的平行于坐标轴的直线段，图7均匀分布密度函数如图7所示。显然它从-∞至∞的积分为1。其方差（由式（22））则为σ2仪(X)=∫∞-∞x212U仪dx=∫U仪-U仪x212U仪dx=U2仪3（45）标准差为σ仪（X）=U仪3（46）可认为是均匀分布的误差有： 由测量仪器传动的间隙、摩擦力等造成一定的灵敏度阈；数字显示仪器的量化误差使显示结果产生末位一个数字的误差；正态分布的误差在经较大截尾后也可近似看作均匀分布的误差。因误差正态分布时通常把标准差σ的3倍作为极限误差，所以当所用仪器的特性误差分布不知道时，假设被测量X的误差为均匀分布是一种较为保守的处理，即可将被测量X的B类标准不确定度估计为u仪(X)=U仪3（47）在仪器的示值误差由（）允许误差给出时，若没有提供有关误差分布的信息，一般可以认为误差在允许范围内具有任意值，是等概率的均匀分布。例如1.5级仪表，其示值误差为1.5%乘以仪表的全量程值XF，即XF×1.5%。若没有其他有关误差分布的信息，为保险起见，可按均匀分布处理，即B类标准不确定度为u仪（X）=(XF×1.5%)/3。数字仪表的仪器误差限有几种表达式。现给出两种：U仪=a%Nx b%Nm（48）或U仪=a%Nx n字（49）式中，a是数字式电表的准确度等级；Nx是显示的读数；b是某个常数，称为误差的项系数；Nm是仪表的满度值；n代表仪器固定项误差，相当于小量化单位的倍数，只取1，2，…数字。例如某数字电压表U仪=0.02%Ux 2字，则其固定项误差是小量化单位的2倍。若取2V量程时数字显示为1.4786V，小量化单位是0.0001V，于是U仪=0.02%×1.4786 2×0.0001≈5×10-4（V）。仪器误差的影响相当于对测量结果给出了一个附加的修正，因其上下限为对称界限，故修正值的期望为0，但其（标准）不确定度并不为0，而是u仪。（2） 测量者的估算误差测量者对被测物或对仪器示数判断的不确定性会产生估算误差。对于有刻度的仪器仪表，由估读引起的不确定度分量u估读通常是取小刻度的十分之几，如1/10或1/5，一般小于U仪/3。比如，估读螺旋测微器小刻度的十分之一为0.001mm，小于其允差0.004/3mm=0.002mm。但有时也取1/2，视具体情况而定。特殊情况下，可以更大。例如在示波器上读电压值时，如果荧光线条较宽，且可能有微小抖动，则测量不确定度可取仪器分度值的1/2，若分度值为0.2V，那么测量不确定度u估读（X）=12×0.2V=0.1V。又如，用肉眼观察远处物体成像的方法粗测透镜的焦距，虽然所用钢尺的分度值只有1mm，但此时测量不确定度u估读（X）可取数毫米，甚至更大。在用拉伸法测杨氏模量的实验中，要测量反射镜到标尺之间的距离（约1～2m），由于装置的原因，很难保证米尺的水平和被测物体两端与米尺的刻线对齐，米尺倾斜2°，可产生0.6mm的误差，米尺倾斜3°，可产生1.4mm的误差，加上被测物体两端与米尺的刻度线对不齐等因素，u估读一般在1～2mm。关于估算误差或估读不确定度在［-U估读，U估读］内的分布，尚未见确切的说法，可以预期与U仪有相同的性质，即在［-U估读，U估读］内均匀分布。电桥、电位差计等有平衡指示器的仪器，由于人眼分辨能力的限制，会造成人眼无法判断平衡指示器是否准确指零。当指针在零位附近一个微小范围δ内，测量者会认为已经平衡。由此产生的误差限U估读=δS（50）称为灵敏度误差限。式中S为该仪器（该电路）的灵敏度。δ一般取0.2格（若平衡指示器未指零，由指示器示数引起的不确定度称为变差，U估读可直接取为步进值的一半）。灵敏度标准差估计值（不确定度）为u估读=U估读3=δ3S（51）数字仪器指示装置的分辨力是其不确定度的另一来源。若数字显示仪器指示装置的分辨力（即指示显示装置有效辨别的小示值）为d，那么输入仪器的信号在输入量为X-（1/2）d至X (1/2)d区间内示值不会发生变化。输入量在该区间内可以是任意的，可认为服从半宽度为（1/2）d对称的均匀分布，且标准不确定度u估读（X）=0.5d/3=0.29d。在测量中，如果估读误差较小，可以认为仪器的允差已包含了测量者正确使用仪器的估算误差，则u估读可忽略不计。而当估读误差较大时，作为一种简化，可以认为u仪和u估读是彼此无关的，B类不确定度uB为它们的合成：uB=u2仪 u2估读（52）标准不确定度的评定分为A类和B类根据的是评定方法的不同，并不是两类不确定度的性质有区别。两类不确定度都是基于概率分布，并都用方差的正平方根，即标准偏差作量化表示。标准不确定度的B类评定应如同A类评定那样认真对待。B类评定既需要知识又需要经验。至于哪一类更可信，要视具体问题而定。应注意在评定时不要重复计入。如果在A类评定中已考虑了产生不确定度的某个影响因素，则在B类评定中就不应再考虑。例如在多次测量时A类评定已包含了估读误差的影响，则u估读就不应再计入。不确定度的B类评定所给出的（估计的）标准差含有一定的人为因素的影响，因此其客观性受到影响，这就使非统计评定方法的应用具有很大的局限性。但由于客观条件的限制，用统计的方法远不能解决所有误差因素的不确定度估计问题，所以非统计的方法在实际测量的不确定度估计中仍有广泛的应用。1.2.4标准不确定度的合成与传递1. 合成不确定度的合成仿照方差的合成。若测量结果含统计不确定度分量与非统计不确定度分量uA1,uA2,…,uAi,…,uAmuB1,uB2,…,uBj,…,uBn且它们之间互相独立时，则合成（标准）不确定度uc表征为uc=∑mi=1u2Ai ∑nj=1u2Bj（53）式中，m和n分别表示A、B两类不确定度的个数。对于任何一个直接测量，原则上都必须算出它的统计不确定度和估计出非统计不确定度后，按“方和根”的方式合成为合成不确定度。但并非式中的项每次都出现。当对被测量进行单次测量时，其中的标准不确定度A类评定uA不出现。但这绝不表示单次测量的不确定度比多次测量的不确定度小，原因有二： 首先，单次测量的可信度一般比较低，为了达到与多次测量相同的置信度，必须把仪器误差适度放大，所以合成不确定度并没有减小；其次，实际测量时一般不存在意义上的单次测量，因为一个严谨的测量者有良好的测量习惯，虽然只记录了一个测量数据，但这个数据是经过测量者检查或验证的，具有多次测量取平均值的效果。设想测量时读数明显地随机变化，却随意记录一个读数作为测量结果，是不可思议的。所以，单次测量仅适用于读数不会明显变化的测量（用精度更低的仪器测量时就是如此，但仪器误差变大了，合成不确定度肯定不会减小）。用现代数字化智能仪器单次测量时，其实就是多次测量，原因是它的测量取样速度很快，显示出来的读数其实是数十次，甚至是成百上千次测量取样的平均值，所以可以不必考虑统计不确定度的影响。对单次测量，有时会因待测量的不同，其不确定度的计算也有所不同。例如用温度计测量温度时，温度的不确定度合成公式为uc(X)=u2仪(X) u2估读(X)；而在长度测量中，长度值是两个位置读数X1和X2之差，其不确定度合成公式为uc(X)=u2估读(X1) u2估读(X2) u2仪(X)。这是因为X1和X2在读数时都有因估读所引起的不确定度，因此在计算合成不确定度时都要算入。例5已建成一泳道长为50m的游泳池，比赛官员要求检查中间泳道的长度。检查时用由高质量殷钢制成的带尺测量长度，带尺用恒定张力拉紧。带尺的温度效应和弹性效应很小，可以略去。用带尺测量中间泳道6次，其观测值如下（单位为m）：50.00549.99950.00349.99850.00450.001查阅带尺的技术说明，得知带尺的分划刻度误差不大于±3mm( 3mm和-3mm可看作均匀分布的上限和下限），试求该泳道长度的估计值及它的合成标准不确定度uc(X)。解泳道长度的估计值即算术平均值X=1n∑6k=1Xk=50.0017m它的实验标准偏差s(X)=1n(n-1)∑6k=1(Xk-X)2=1.15mm以上是用统计方法进行评定的，即A类标准不确定度uA(X)=s(X)=1.15mm。由带尺的技术说明得知，分划刻度的误差上限为 3mm，下限为-3mm，该泳道长度落在上、下限之外的概率为0。在没有关于分划刻度误差分布的说明时，只能假设按等概率落在上、下限范围内的任何地方，即假设为均匀分布，其标准不确定度u(X)=3/3mm=1.73mm。它是用非统计方法进行评定的，是B类标准不确定度，即uB(X)=1.73mm。由于uA(X)是用统计方法进行评定的，而uB(X)是用非统计方法进行评定的，它们是不相关的，因而合成方差u2c（X）=u2A(X) u2B(X)把uA(X)=1.15mm,uB(X)=1.73mm代入，得uc(X)=2.08mm≈0.0021m。例6电压测量的不确定度计算。用标准数字电压表在标准条件下，对被测直流电压源10V点的输出电压值进行独立测量10次，测得值见表1。（说明： 本例中以UD表示电压值，u表示不确定度。）

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本书介绍了测量误差与不确定度评定的基本知识，包括30个涵盖力学、热学、电磁学、光学及近代物理的基本实验和21个以近代物理和技术物理为主的选做实验。

书摘插图

前言

此次再版，除纠正已发现的版中的错误，主要调整如下：(1) 新增“用电功量热法测定水的比热容”“LCR电路的谐振现象”“毛细管法测量液体黏滞系数和表面张力系数”三个实验。(2) “灵敏电流计特征的研究”“纺织品介电常数的测定”两个实验增加了实验拓展内容。(3) “电桥及其应用”“金属电子逸出功的测定”“密立根油滴实验——电子电荷的测定”“稳态法测量不良导体的导系数”“CCD器件的特性研究及应用”添加了提高要求。(4) 部分实验（“电桥及其应用”“用电位差计校正电压表”“碰撞打靶实验”等）在叙述上有所调整。

编者2017.11