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本书是顺应高等师范院校数学教育专业几何课程改革和中学数学教育改革的要求，以及高校师范认证的背景编写而成。全书分为四个部分，其中*部分的作用使学生了解几何学发展简史和非欧几何的几种经典模型；第二部分主要讲解欧氏几何与二次曲线的度量性质及分类，古典微分几何知识的介绍；第三部分主要包括仿射坐标系、仿射平面与仿射变换，从仿射平面到射影平面，射影坐标系、射影平面与射影变换，二次曲线的性质与分类，使得学生理解和掌握仿射几何和射影几何的基本内容；第四部分主要介绍“大学几何” 对“中学几何”的指导意义以及“大学几何”方法在“中学几何”中的应用，让读者通过本部份的学习为中学几何教学更好的服务。 本书既可作为高等师范院校本科数学教育、数学与应用数学等专业的几何教材，可供在职中学数学教师作为参考读本，也可作为数学爱好者，特别是几何爱好者读本。

部分  几何学发展概述

第1章  几何学发展简史

1  欧几里得与《原本》

1.1  《原本》产生的历史背景

1.2  《原本》的结构与内容

1.3  《原本》的优缺点

1.4  《原本》对我国数学的影响

2  解析几何的诞生

2.1  笛卡儿和费马在创立解析几何中的贡献

2.2  解析几何的发展

2.3  解析几何的重要性

3  从透视学到射影几何

3.1  射影几何的由来

3.2  射影几何的发展

3.3  平面射影几何公理体系

4  非欧几何的产生与非欧几何公理体系

4.1  非欧几何的产生背景

4.2  非欧几何的形成

4.3  非欧几何的发展与确认

5  几何学的统一与公理化思想

5.1  几何学的统一

5.2  几种几何学的比较

5.3  公理化思想方法

6  几何学的近现代发展简介

6.1  微分几何

6.2  拓扑学

练习1

第2章  非欧几何的几种典型模型

1  锐角假设与罗氏几何

1.1  锐角假设与双曲几何

1.2  双曲几何的代表——罗氏几何简介

1.3  真理性讨论

2  钝角假设与球面几何

2.1  钝角假设与椭圆几何

2.2  椭圆几何的代表——球面几何简介

3  非欧几何的实现模型

3.1  克莱因模型

3.2  庞加莱模型

练习2

第二部分  欧氏几何与微分几何

第3章  欧氏几何、二次曲线的度量性质与分类

1  直角坐标系、欧氏平面、变换群与等距变换

1.1  直角坐标系与欧氏平面

1.2  变换群

1.3  等距变换

2  二次曲线的度量性质

2.1  欧氏平面上二次曲线的定义及基本概念

2.2  二次曲线与直线的相关位置

2.3  二次曲线的渐近方向、中心及渐近线

2.4  二次曲线的切线

2.5  二次曲线的直径

2.6  二次曲线的主直径与主方向

3  利用平面直角坐标变换化简二次曲线的方程与分类

3.1  平面直角坐标变换

3.2  利用平面直角坐标变换化简二次曲线的方程与分类

练习3

第4章  古典微分几何初步

1  向量函数

1.1  向量函数的定义及其相关概念

1.2  两个特殊向量函数与旋转速度

2  曲线论

2.1  曲线的相关概念

2.2  空间曲线的密切平面与基本三棱形

2.3  空间曲线的曲率、绕率和弗雷内公式

2.4  空间曲线论基本定理

3  曲面论

3.1  曲面的相关概念

3.2  曲面的三种基本形式

3.3  曲面的一些曲率与曲面上的一些曲线

3.4  曲面三个基本形式之间的关系

3.5  曲面论基本定理问题的引出

练习4

第三部分  仿射几何与射影几何

第5章  仿射坐标系、仿射平面与仿射变换

1  仿射坐标系与仿射平面

1.1  平行射影

1.2  仿射坐标系与仿射平面

2  仿射变换的相关问题

2.1  仿射变换的代数表达式

2.2  关于仿射变换的确定及其重要定理

2.3  仿射平面上直线的几个常用结论

2.4  几种重要的仿射变换

2.5  仿射性质

练习5

第6章  从仿射平面到射影平面

1  扩大的仿射平面

1.1  中心射影和无穷远元素

1.2  射影直线和射影平面以及它们的性质

1.3  射影平面的拓扑模型

1.4  图形的射影性质

2  齐次仿射坐标

2.1  点的齐次仿射坐标

2.2  直线的齐次仿射坐标方程

2.3  齐次仿射线坐标

3  德萨格定理与平面对偶原理

3.1  德萨格定理

3.2  平面对偶原理

4  交比与调和共轭

4.1  点列中四点的交比

4.2  线束中4条直线的交比

练习6

第7章  射影坐标系与射影变换

1  射影坐标系

1.1  直线上的射影坐标系

1.2  平面上的射影坐标系

2  射影变换

2.1  透视对应及其相关概念

2.2  射影变换

3  射影对应(变换)的代数表达式和帕普斯定理

3.1  一维射影对应(变换)的代数表达式

3.2  二维射影对应(变换)的代数表达式

3.3  帕普斯定理

4  变换群与几何学的关系

4.1  平面上的几个重要变换群

4.2  欧氏几何与欧氏群

4.3  克莱因变换群观点简介

4.4  射影几何、仿射几何和欧氏几何间的比较

练习7

第8章  二次曲线的射影性质、仿射性质与相应分类

1  二次曲线的射影性质

1.1  二阶曲线与二级曲线的定义

1.2  二次曲线的射影定义

1.3  二阶曲线与二级曲线的关系

1.4  帕斯卡和布利安桑定理

1.5  二阶曲线的极点与极线

1.6  配极原则与配极对应

2  二次曲线的射影分类

2.1  二阶曲线的奇异点

2.2  二次曲线的射影分类

3  二次曲线的仿射性质

3.1  二次曲线与无穷远直线的相关位置

3.2  二次曲线的中心

3.3  二次曲线的直径与共轭直径

3.4  二次曲线的渐近线

4  二次曲线的仿射分类

练习8

第四部分  “大学几何”与“中学几何”

第9章  “大学几何”对“中学几何”的指导意义

1  中学几何的研究内容及方法

1.1  几何学的研究对象及分类

1.2  中学几何的主要研究内容

1.3  中学几何的基本研究方法

2  “大学几何”与“中学几何”的联系

3  “大学几何”对“中学几何”教学的指导意义

3.1  高等师范院校数学教学改革中几何课程改革的重要性与必要性

3.2  用现代数学的观点看待“中学几何”

练习9

第10章  “大学几何”方法在“中学几何”中的应用

1  “向量法”与“坐标法”在中学几何中的应用

1.1  用向量法证明共点(或共线)问题

1.2  用向量法证明垂直（或平行）问题

1.3  有关夹角或距离问题的例子

1.4  有关面积、体积问题的例子

2  仿射及射影几何方法在中学几何中的应用

2.1  仿射方法在中学几何中的应用

2.2  射影方法在中学几何中的应用

练习10

习题参考答案与提示

参考文献

罗淼，男，汉族，中共党员，1975年生，贵州正安人。现任贵州师范大学数学科学学院副教授，理学博士，硕士生导师，主要从事几何学方面的教学与研究。

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编辑推荐

《几何学概论（第2版）》既可作为高等师范院校本科数学教育、数学与应用数学等专业的几何教材，也可供中学数学教师作为参考读本，还可作为数学爱好者，特别是几何爱好者的读本。

前言

本书是在2011年出版的《几何学概论》的基础上，结合教材使用实际与2017年*颁发《普通高等学校师范类专业认证实施办法》后开启的普通高等学校师范类专业的认证工作修订而成的。修订的主导思想是保持第1版的内容，增加了“古典微分几何初步”，放在本书的第4章，将第1版的第4章至第9章向后顺次变成第2版的第5章至第10章。同时为了教师和读者的方便，增加了“习题答案与提示”，其余的地方，根据使用教师的意见和建议，这在个别地方作了极少的修改。

本书的修订工作是经几位编著者共同策划、讨论和修改完成的，增加的“古典微分几何初步”由罗淼编写。本书作为贵州省本科高校一流大学专业建设点项目——数学与应用数学——教材建设的成果之一、也是一流本科专业建设点项目——数学与应用数学——教材建设的成果之一。

本书在修订过程中，贵州师范大学王泽平副教授（博士）、张石梅副教授（博士）提出了很宝贵的意见和建议，在此表示衷心的感谢。本次修订工作得到了贵州师范大学数学科学学院领导的关心、支持和帮助，同时与清华大学出版社的领导和有关同志的支持也是分不开的，在此表示深切的谢意。还要特别感谢清华大学出版社刘颖编辑的辛勤付出，使得本书能顺利出版。

罗淼

2020年10月

高等师范院校数学教育专业开设的重要基础课程之中，几何课程主要有“解析几何”“高等几何”“微分几何”等。大多数学校的“高等几何”课本以射影几何为主要内容，并由仿射几何作为过渡，也有少数简单介绍了几何基础的内容。但也有学校只有“解析几何”是必修课程，“高等几何”“微分几何”均作为选修课。这主要是由于新课程的增加（如： 信息类、新的实用技术类等）与总课程的压缩，使传统几何课程的教学学时不得不大大缩减；  但中学数学对几何内容的要求并没有降低。由此可以看出高等师范数学教育的课程设置已经滞后于中学数学教育。

 随着中学课程改革进程的不断深入，培养教师的高等师范教育被推到了非改不可的境地。高等师范数学课程改革中，几何课程内容与教学的改革又是历来数学教育改革的热点及争议较大的问题。本书——《几何学概论》正是顺应这个潮流进行高等师范数学教育专业几何课程改革的结果。同时，该书也是*高等学校特色专业建设点项目——数学与应用数学——教材建设的成果之一。

为了满足中学数学课程改革对几何课程的要求，我校将几何发展史、几何基础与射影几何等内容有机结合而设立了“几何学概论” 这门课程，为了配合教学，特地编写了《几何学概论》一书。其目的是使学生通过对该课程的学习，能较全面地了解几何学的发展概况、不同几何分支的研究方法，理解不同几何学的基本观点及思想方法，并用较高的观点去分析和处理中学几何的问题。

本书的宗旨是借助介绍历史学习几何，通过讨论变换来研究几何； 运用“大学几何”指导“中学几何”。

本书分三个部分共9章： 

部分(第1，2章)为几何学发展概述，主要介绍几何学发展简史和非欧几何的几种经典模型。学习该部分的目的是使学生对几何学的发展有一个较为完整和全面的认识，了解几何学的主要分支以及研究方法。

第二部分(第3~7章)是欧氏几何、仿射几何与射影几何，主要介绍射影几何和仿射几何的基础知识、基本理论和基本方法，希望帮助学生发展几何空间概念。我们还将解析几何中二次曲线的一般理论与仿射几何、射影几何放在一起，试图通过对二次曲线的度量、仿射与射影分类及性质的对比，使学生明确欧氏几何、仿射几何与射影几何之间的内在联系和根本区别，更好地理解变换群与几何学的关系，为进一步学好现代数学打好基础，同时也为中学数学教师的几何教学提供更多的方法。

第三部分(第8，9章)是“大学几何”与“中学几何”，主要介绍“大学几何”对“中学几何”的指导意义，以及“大学几何”方法在“中学几何”中的应用。目的在于引导学生用较高的观点理解“中学几何”教材，用不同的方法解决初等几何问题，从而培养他们的能力。这部分内容学生完全可以自学。

本教材由罗淼、严虹和廖义琴编写，具体分工为： 教材的第1,2章由严虹执笔； 第3~7章由罗淼执笔； 第8，9章由廖义琴执笔。由罗淼统稿。

使用本教材时，我们有如下建议： 如果在解析几何中已经讲授了二次曲线的一般理论，则可跳过这部分内容，选讲其他内容。

本书的取材力求精练，突出主干，深入浅出，简明易懂。在阐述历史时，充分尊重历史事实，对一些内容作简明的历史知识介绍，另外，对于重要的历史人物以阅读材料的形式加以补充和充实。

在本书编写过程中，多次得到贵州师范大学数学与计算机科学学院全国高校教学名师项昭教授和贵州师范大学数学与计算机科学学院院长游泰杰教授的关心、支持、帮助和指导，他们提出了很多宝贵意见和建议。我们对项昭教授和游泰杰教授严谨的学风和认真的工作态度表示钦佩，并对他们为本书付出的辛勤劳动表示衷心的感谢！还要感谢清华大学出版社的领导和有关同志的大力支持和辛勤劳动，使得本书能顺利出版。

由于时间仓促，加之水平有限，不足与错误在所难免。恳请各位同行及广大读者提出宝贵意见，以便改正。

本书既可作为高等院校本科数学教育专业的几何教材，也可供在职中学数学教师作为参考读本。

编者

2010年12月